Tallos de la presheaf de producto tensorial de dos poleas

Question

Que $(X, \mathscr{O})$ ser un espacio anillado y poleas de $\mathscr{F}, \mathscr{G}$-módulos en $\mathscr{O}$ $X$.

Definir $\mathscr{H}(U) = \mathscr{F}(U) \otimes_{\mathscr{O}(U)} \mathscr{G}(U)$. Estoy atrapado tratando de probar que $\mathscr{H}_p \cong \mathscr{F}_p \otimes_{\mathscr{O}_p} \mathscr{G}_p$ como $\mathscr{O}_p$-módulos.

Sé que si $X$ es un espacio topológico, $\mathscr{F}, \mathscr{G}$ presheaves de grupos abelianos en $X$ y $\mathscr{H}(U) = \mathscr{F}(U) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathscr{G}(U)$ y $\mathscr{H}_p \cong \mathscr{F}_p \otimes_{\mathbb{Z}} \mathscr{G}_p$. Esto es sólo una consecuencia del hecho de que productos del tensor conmutación con límites directos. Pero no sé cómo lidiar con el caso cuando está cambiando el timbre de la base

Answer 1

Me di cuenta de cómo demostrarlo.

Deje $(X, \mathscr{O})$ ser un espacio anillado. Deje $\mathscr{F}, \mathscr{G}$ ser gavillas de $\mathscr{O}$-módulos. Definir $\mathscr{H}(U) = \mathscr{F}(U) \otimes_{\mathscr{O}(U)} \mathscr{G}(U)$. Fix $p \in X$. Suponga $U$ es un abierto n.h $p$.

El $\mathscr{O}_p$-módulo de estructura en $\mathscr{F}_p \otimes_{\mathscr{O}_p} \mathscr{G}_p$ induce una $\mathscr{O}(U)$-módulo de estructura en $\mathscr{F}_p \otimes_{\mathscr{O}_p} \mathscr{G}_p$ .

Definir $\alpha_U : \mathscr{F}(U) \times \mathscr{G}(U) \to \mathscr{F}_p \otimes_{\mathscr{O}_p} \mathscr{G}_p, \quad (s,t) \mapsto s_p \otimes t_p$. Este mapa es $2$-lineal en $\mathscr{O}(U)$. Por lo tanto, $\alpha_U$ induce un $\mathscr{O}(U)$-módulo homomorphism de$\mathscr{F}(U) \otimes_{\mathscr{O}(U)} \mathscr{G}(U)$$\mathscr{F}_p \otimes_{\mathscr{O}_p} \mathscr{G}_p$. Vamos abuso de notación y también llamar a este mapa de $\alpha_U$.

Ahora olvídate de la $\mathscr{O}(U)$ módulo de estructura en las secciones de $\mathscr{H}$. El $\alpha_U$s forma un co-cono sobre el $\mathscr{H}(U)$s $p \in U$ (que es lo que proceda diagramas conmutan), por lo tanto, inducen un homomorphism de abelian grupos $h : \mathscr{H}_p \to \mathscr{F}_p \otimes_{\mathscr{O}_p} \mathscr{G}_p$

Definir $\psi : \mathscr{F}_p \times \mathscr{G}_p \to \mathscr{H}_p$ $(s_p, t_p) \mapsto (s|_{U \cap V} \otimes t|_{U \cap V})_p$ donde $s$ es una sección de $\mathscr{F}$ $U$ $t$ es una sección de $\mathscr{G}$$V$. Se puede comprobar con facilidad que $\psi$ 2-lineal en $\mathscr{O}_p$. Por lo tanto, $\psi$ induce una $\mathscr{O}_p$ homomorphism de$\mathscr{F}_p \otimes_{p} \mathscr{G}_p$$\mathscr{H}_p$. Se puede comprobar con facilidad que este mapa y $h$ son inversos.

Answer 2

Alternativamente se puede demostrar que el producto tensorial conmuta con colimits en ambos factores, sino también sobre el anillo base. Esto se deduce fácilmente la adjunción.