Cómo mostrar que cualquier extensión de campo $K/ \mathbb {Q}$ del grado 4 que no es Galois tiene una extensión cuadrática $L$ que es Galois sobre $\mathbb {Q}$ .

Question

$\newcommand { \Q }{ \mathbb {Q}}$ Deje que $K/ \Q$ ser una extensión de campo del grado $4$ que no es Galois. Cómo demostrar que existe una extensión $L \supseteq K$ de tal manera que $[L:K]=2$ y $L/ \Q$ es Galois?

Conozco el ejemplo de $\Q ( \sqrt [4]{2})$ que no es Galois, sino que está contenido en el campo de división de $x^4-2$ que es Galois y de grado $8$ y estoy tratando de generalizar esto. Pero ni siquiera estoy seguro de que podamos escribir $K= \Q ( \alpha )$ para algunos $\alpha$ . De todos modos, si este es el caso, entonces el campo de división $L$ del polinomio mínimo de $\alpha$ sería Galois y de grado $8$ , $12$ o $24$ desde $\mathrm {Gal}(L/ \Q )$ sería un subgrupo de $S_4$ . Pero cómo descartar $12$ y $24$ ?

Answer 1

Como dijo Ewan Delanoy: elige cualquier $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$ raíz de $P=x^4-x-1$ . Entonces, para $K:=\mathbb{Q}(\alpha)$ , usted tiene $[K:\mathbb{Q}]=4$ . Ahora bien, si $[L:K]=2$ y $L/\mathbb{Q}$ es Galois, entonces $L$ contendría el campo de división de $P=x^4-x-1$ . Esto no es posible porque el campo de división de $P=x^4-x-1$ en ${\mathbb{Q}}$ tiene grado $4!=24$ que es mayor que $[L:\mathbb{Q}]=8$ .