¿Por qué es $H^*(K(\pi, 1); A) \cong \text{Ext}^*_{\mathbb{Z}[\pi]}(\mathbb{Z}, A)$ ?

Question

Como sugiere el título de la pregunta, ¿cuál es la forma más fácil de ver que existe un isomorfismo $$H^*(K(\pi, 1); A) \cong \text{Ext}^*_{\mathbb{Z}[\pi]}(\mathbb{Z}, A)?$$

Answer 1

Toma $CW$ -descomposición para su espacio $K(\pi,1)$ . Para la cobertura universal $B_\pi\to K(\pi,1)$ se puede construir según $CW$ -descomposición.

Tenga en cuenta que $\pi\,\,$ gratis actúa sobre el $B_\pi$ y el factor $B_\pi/\pi$ será homeomorfo a $K(\pi,1)$ . Esta acción respeta $CW$ -estructura compleja, por lo que el complejo cochain $C^\bullet(B_\pi,A)$ es complejo de libre $\mathbb Z[\pi]$ -módulos con cero $n$ -th homology, $n>0$ y $0$ -th homology $=A$ . El $\pi$ -elementos invariantes de $C^\bullet(B_\pi,A)$ es sólo $C^\bullet(K(\pi,1),A)$ Por lo tanto

$$H^\bullet(K(\pi,1),A)=H(\{\text{$\pi$-invariant subcomplex of } C^\bullet(B_\pi,A)\})=:\mathrm{Ext}^\bullet_{\mathbb Z[\pi]}(\mathbb Z,A).$$