¿Es un álgebra de Von Neumann sólo una álgebra C* que se genera por sus proyecciones?

Question

Las álgebras de Von Neumann tienen la agradable propiedad de que son generadas por sus proyecciones (los elementos que satisfacen $e = e^{ \ast } = e^2$ ) en el sentido de que son el cierre de la norma del subespacio generado por las proyecciones. Esta es una propiedad sensata que se requiere desde la perspectiva de la "teoría de la medida no conmutativa", donde se piensa en las álgebras de von Neumann como generalizaciones de álgebras de la forma $L^{ \infty }(X)$ ( $X$ a $ \sigma $ -espacio de medida finita); aquí las proyecciones son las funciones indicadoras de subconjuntos medibles de $X$ (conjuntos de módulos de medida cero) y el subespacio generado por las proyecciones son las funciones simples.

¿Esta propiedad caracteriza a las álgebras de Von Neumann entre $C^{ \ast }$ -¿algebras?

Answer 1

No. Considere el álgebra conmutativa C*. $c$ de secuencias convergentes de números complejos (con multiplicación puntual), correspondientes a $C(X)$ donde $X$ consiste en una secuencia convergente y su límite. También es el cierre de la norma de la amplitud de sus proyecciones (que son las secuencias de $0$ y $1$ que eventualmente son $0$ o $1$ ), pero no es un álgebra de von Neumann: el cierre débil es $ \ell ^ \infty $ .

Más en general, IIRC, $C(X)$ es el cierre de la norma de la amplitud de sus proyecciones sif $X$ está totalmente desconectada, pero para que sea un álgebra de Von Neumann $X$ debe estar extremadamente desconectado.

Answer 2

Álgebras C* de dimensiones aproximadamente finitas son generados (como los espacios de Banach) por sus proyecciones, pero no son álgebras de von Neumann excepto en el caso de dimensiones finitas. $c$ es un ejemplo de esto, y el álgebra de los operadores compactos en un espacio separable de Hilbert es otro.

El artículo de la encuesta de Blackadar "Proyecciones en C*-algebras" contiene una sección denominada "Existencia de propiedades de proyección" (a partir de la página 138), en la que esta propiedad figura como uno de los muchos axiomas que se comparan ("LP"). Se menciona allí que en el caso de $C(X)$ con $X$ compacto Hausdorff, la mayoría de los axiomas equivalen a la desconexión total de $X$ que también equivale a $C(X)$ siendo aproximadamente de dimensiones finitas si $X$ es metriztrizable.

Como mencionó Yemon, el trabajo de Kaplansky sobre AW*-algebras es relevante. Reuniendo un poco de la exposición de Blackadar, citando la obra de Kaplansky y Kadison (y posiblemente de Sakai, ver 6.3.1 y 6.3.3), las siguientes tres propiedades (todas a la vez, no por separado) caracterizan a una álgebra C* $A$ como una álgebra W*:

1. Cada máxima subalgebra conmutativa de C* de $A$ es generado por proyecciones.

2. Las proyecciones de $A$ formar una red completa.

3. $A$ tiene una familia separada de estados normales.

Añadiendo al último párrafo de Robert Israel, en 6.3.4 se afirma que $C(X)$ es un álgebra AW* si y sólo si $X$ está extremadamente desconectado (Stonean), y $C(X)$ es una álgebra W* si y sólo si $X$ está extremamente desconectado con una familia de medidas normales que se separan (hiperstonean).