Este es un divertido pregunta para mí, ya que he estudiado precisamente una conexión entre los dos.
En la geometría de Riemann, una pregunta natural es: ¿hay cerrado geodesics en mi colector? Cuántos de ellos? ¿Qué puedo decir acerca de ellos?
Por otro lado, al tratar de la teoría de Morse, desea relacionar la topología de su colector con el número de puntos críticos de una función de Morse.
La advertencia es: cerrado geodesics son los puntos críticos de una función derivable (aunque no es una función de Morse... pero todavía lo suficientemente bueno para Morse teoría en algunos espacios): la energía funcional. Sin embargo, usted tiene que considerar el Bucle Libre el Espacio como su colector de interés, la cual es usualmente denotado por $\Lambda M$ en la literatura. A continuación, tiene la tarea de calcular la homología de $\Lambda M$ con el fin de obtener información acerca de la cerrada geodesics (esto ha sido utilizado, por ejemplo, para demostrar que hay al menos dos cerrados geodesics en la esfera, con un Finsler métrica, aunque yo no estudio de esta parte de la teoría).
Por lo tanto, se puede conectar Morse teoría (que utiliza instrumentos de topología algebraica) con geometría de Riemann de esta manera. Tenga en cuenta también que, en el camino, toda una lista de los objetos matemáticos pueden ser aproximados, dependiendo de cuánta profundidad en los detalles que usted desea ir. Por ejemplo, un considerable Análisis ocurre, ya que $\Lambda M$ es el mapa de $H^1$ funciones de un círculo, el colector. Y debe ser así, porque queremos un modelo en un espacio de Hilbert y tiene una agradable forma de tomar derivados. También hay análisis funcional, ya que estamos tratando con Hilbert espacios, etc.
