¿Por qué negativo por negativo = positivo?

Question

Hace poco alguien me preguntó por qué una negativa $\times$ un negativo es positivo, y por qué un negativo $\times$ un positivo es negativo, etc.

Me adelanté y les di una prueba por contradicción así:

Supongamos que $(-x) \cdot (-y) = -xy$

Luego divide ambos lados por $(-x)$ y se obtiene $(-y) = y$

Como tenemos una contradicción, entonces nuestra primera suposición debe ser incorrecta.

Supongo que he hecho algo mal aquí. Desde la conclusión de $(-x) \cdot (-y) = (xy)$ es difícil de deducir de lo que he escrito.

¿Hay una forma mejor de explicar esto? ¿Es mi prueba incorrecta? Además, ¿cuál sería una forma intuitiva de explicar el concepto de negación, si es que existe?

Answer 1

Esto es bastante suave, pero vi un analogía en línea para explicar esto una vez.

Si filmas a un hombre corriendo hacia delante ( $+$ ) y, a continuación, reproduzca la película hacia delante ( $+$ ) sigue corriendo hacia adelante ( $+$ ). Si reproduce la película hacia atrás ( $-$ ) parece correr hacia atrás ( $-$ ) por lo que el resultado de multiplicar un positivo y un negativo es negativo. Lo mismo ocurre si se filma a un hombre corriendo hacia atrás ( $-$ ) y reproducirlo normalmente ( $+$ ) parece que sigue corriendo hacia atrás ( $-$ ). Ahora, si filmas a un hombre corriendo hacia atrás ( $-$ ) y reproducirlo al revés ( $-$ ) parece estar corriendo hacia adelante ( $+$ ). El nivel al que se acelera el rebobinado no importa ( $-3x$ o $-4x$ ) estos resultados se mantienen. $$\text{backward} \times \text{backward} = \text{forward}$$ $$ \text{negative} \times \text{negative} = \text{positive}$$ No es perfecto, pero al menos introduce la noción de que la recta numérica tiene direcciones.

Answer 2

Justificación informal de $\text{positive} \times \text{negative} = \text{negative}$

Continúa el patrón:

$$ \begin{array}{r} 2 & \times & 3 & = & 6\\ 2 & \times & 2 & = & 4\\ 2 & \times & 1 & = & 2\\ 2 & \times & 0 & = & 0\\ 2 & \times & -1 & = & ? & (\text{Answer} = -2 )\\ 2 & \times & -2 & = & ? & (\text{Answer} = -4 )\\ 2 & \times & -3 & = & ? & (\text{Answer} = -6 )\\ \end{array} $$

El número del lado derecho sigue disminuyendo en 2.

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Justificación informal de $\text{negative} \times \text{negative} = \text{positive}$

Continúa el patrón:

$$ \begin{array}{r} 2 & \times & -3 & = & -6\\ 1 & \times & -3 & = & -3\\ 0 & \times & -3 & = & 0\\ -1 & \times & -3 & = & ? & (\text{Answer} = 3 )\\ -2 & \times & -3 & = & ? & (\text{Answer} = 6 )\\ -3 & \times & -3 & = & ? & (\text{Answer} = 9 )\\ \end{array} $$

El número de la derecha sigue aumentando en 3.

Answer 3

Bueno, si tuviera que explicar esto de forma intuitiva a alguien (o al menos intentarlo), me gustaría pensar en una analogía con caminar sobre la línea real, acordando que caminar a la izquierda será caminar en la dirección negativa y caminar a la derecha en la dirección positiva.

Entonces trataré de transmitir la idea de que si estás multiplicando dos números (supongamos que son enteros para hacer las cosas más fáciles de imaginar) entonces un producto como $2*3$ sólo significaría que tienes que caminar hacia la derecha (en la dirección positiva) una distancia de $2$ (digamos kilómetros, por ejemplo) tres veces, es decir, primero se camina $2$ millas, luego otra $2$ millas y finalmente otro $2$ millas a la derecha.

¿Ahora te imaginas dónde estás? Bueno, estás a la derecha del origen por lo que estás en la sección positiva. Pero de la misma manera puedes jugar esta idea con un negativo por un positivo.

Con el mismo ejemplo en mente, ¿qué sería $-2*3$ ¿quieres decir? En primer lugar, supongamos que el $-2$ sólo especifica que tendrá que caminar a la izquierda una distancia de $2$ millas. Entonces, ¿cuántas veces vas a recorrer esa distancia? Igual que antes $3$ veces y al final serás $6$ millas a la izquierda del origen para que estés en la sección negativa.

Por último, tendrás que tratar de imaginar lo que podría $(-2)*(-3)$ medio. Tal vez se podría pensar que el signo negativo del segundo factor implica que se cambia de dirección, es decir, hace que se dé la vuelta y se empiece a caminar la distancia especificada. Así que en este caso el $-2$ te dice que camines a la izquierda una distancia de $2$ millas pero el $-3$ te dice que primero te des la vuelta y luego camines $3$ veces el $2$ kilómetros en la otra dirección, por lo que acabará caminando hacia la derecha y terminará en el punto que $6$ millas a la derecha del origen, por lo que estará en la sección positiva, y $(-2)*(-3) = 6$ .

No sé si esto servirá de algo, pero es la única forma que se me ocurre de forma intuitiva.

Answer 4

Alguien me envió esto recientemente:

Te doy tres \$20 notes: +3 * +20 = +\$ 60 para ti
Te doy tres \$20 debts: +3 * -20 = -\$ 60 para ti
Tomo tres \$20 notes from you: -3 * +20 = -\$ 60 para ti
Tomo tres \$20 debts from you: -3 * -20 = +\$ 60 para ti

Answer 5

Creo que muchas respuestas son demasiado simples o se alejan demasiado de las matemáticas. Sólo hay que recordar que la multiplicación es una suma repetida. Cuando se trata de números negativos, se convierte en una sustracción repetida.

Yo simplemente lo pondría en este contexto:

1. La ecuación: $$\begin{equation*}\begin{array}{c} \phantom{\times9}2\\ \underline{\times\phantom{9}2}\\ \phantom{\times9}4\\ \end{array}\end{equation*}$$ es sólo añadir positivo $2$ dos veces.

   

2. La ecuación: $$\begin{equation*}\begin{array}{c} \phantom{\times999}2\\ \underline{\times\phantom{1}-2}\\ \phantom{\times9}-4\\ \end{array}\end{equation*}$$ es sólo añadir positivo $2$ , negativo dos veces, lo que significa que en lugar de sumar en el sentido positivo, se suma en el sentido negativo (sustracción).

   También puedes decir simplemente que estás añadiendo $-2$ (o restando $2$ ), dos veces.

   

3. La ecuación: $$\begin{equation*}\begin{array}{c} \phantom{\times9}-2\\ \underline{\times\phantom{1}-2}\\ \phantom{\times999}4\\ \end{array}\end{equation*}$$ está añadiendo $-2$ negativo dos veces. Añadiendo $-2$ dos veces, se obtiene el diagrama de (2). Como hay que sumar negativo dos veces, se invierte el sentido de la suma.

   También se podría decir que se está restando $-2$ dos veces.