Estaba ayudando a un estudiante de secundaria con factoring cuando un notado que también factor de polinomios que en $\mathbb{Q[x]}$ $\mathbb{Z[x]}$. Me preguntaba si hay un argumento formal aquí a partir de esta observación. Por ejemplo, puede tenerse $f(x) = 6x^2 + 7x + 2$ $(6x + 3)(x + \frac{2}{3})$ $\mathbb{Q[x]}$ y $(2x+1)(3x+2)$ $\mathbb{Z[x]}$. ¿Por qué esto funciona formalmente?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Lo que he notado es (el contrapositivo de) de Gauss, lema, el cual establece que si un polinomio $f$ con coeficientes enteros es irreductible, como un elemento de $\mathbb{Z}[x]$ (es decir, no es un factor no trivial en polinomios con coeficientes enteros), a continuación, $f$ también es irreductible como un elemento de $\mathbb{Q}[x]$ (es decir, no es un factor no trivial en polinomios con coeficientes racionales).
Algo a tener en cuenta, sin embargo, es que no trivial de la factorización en $\mathbb{Z}[x]$ puede parecer un poco raro, si no estás acostumbrado a ella. Por ejemplo, el polinomio $2x+2$ factores trivial: $$2x+2=(2)(x+1).$$ Esto es no trivial de la factorización en $\mathbb{Z}[x]$ porque $2$ no es una unidad en $\mathbb{Z}[x]$.
user56747
Puntos
1
Lo que estás describiendo es llamado lema de Gauss.
