Evaluar $\frac{1}{zx+y-1}+\frac{1}{zy+x-1}+\frac{1}{xy+z-1}$ si $x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=3,xyz=4$

Question

Evaluar $\frac{1}{zx+y-1}+\frac{1}{zy+x-1}+\frac{1}{xy+z-1}$ si $x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=3, xyz=4$

Lo primero que noto es que es simétrica a $a,b,c$ pero no puede ayudarme. La otra idea es encontrar los números, pero dando a alfa wolfram da cinco conjunto complejo de respuestas. Otra idea que parece buena es esta:

$\sum\limits_{}^{cyc}\frac{1}{xy+z-1}=\sum\limits_{}^{cyc}\frac{x}{x^2-x+4}$

Tal vez da la respuesta pero es difícil de calcular. ¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Si queremos transformar todo esto en una sola fracción, el numerador y el denominador será simétrico polinomios en tres variables.

La cosa buena acerca de ellos es que uno puede usar el Teorema Fundamental de los Polinomios Simétricos para escribir $P(x,y,z)$ en una manera única como un polinomio $P'(e_1(x,y,z),e_2(x,y,z),e_3(x,y,z))$ donde $$e_1(x,y,z) = x + y + z \qquad e_2(x,y,z) = xy + xz + yz \qquad e_3(x,y,z) = xyz.$$

Ya sabemos que $e_1(x,y,z) = 2$$e_3(x,y,z) = 4$. Podemos calcular $e_2$ desde $e_1^2 - (x^2 + y^2 + z^2) = 2e_2$: $$e_2 = \dfrac{1}{2}.$$

Ahora lo único que tenemos que hacer es descomponer el numerador y el denominador como un polinomio en $e_1,e_2,e_3$ para encontrar el valor de la inicial del problema. Sin embargo, esto podría no ser muy elegante.

La cosa da $P/Q$ donde:

$$P = (x^2yz+xy^2z+xyz^2) + (x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2) - (xy+xz+yz) - (2x+2y+2z) + 3,$$

$$Q = (x^3yz+xy^3z+xyz^3) + (x^2y^2z^2) + (x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2) -( x^2yz+xy^2z+xyz^2) - (x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2) + (x+y+z) + (xyz)- 1.$$

Por lo tanto

$$x^2yz+xy^2z+xyz^2 = xyz(x+y+z) = 8$$ $$x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2 = -3xyz + (xy+xz+yz)(x+y+z) = -11$$ $$2x+2y+2z = 2(x+y+z) = 4$$

Por lo $P = 8 - 11 - \dfrac{1}{2} - 4 + 3 = -\dfrac{9}{2}$.

Por el contrario,

$$x^3yz + xy^3z + xyz^3 = (xyz)(x^2 + y^2 + z^2) = 12$$ $$x^2y^2z^2 = (xyz)^2 = 16$$ $$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2 - x^2yz-xy^2z-xyz^2 = (xy+xz+yz)^2 - 3(xyz)(x+y+z) = -\dfrac{95}{4}$$ $$x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2 = -3xyz + (xy+xz+yz)(x+y+z) = -11$$

por lo $Q = 12 + 16 -\dfrac{95}{4} + 11 + 2 + 4 - 1 = \dfrac{81}{4}$.

Finalmente, $P/Q = -\dfrac{9\cdot 4}{2\cdot 81} = -\dfrac{2}{9}.$

Answer 2

Edit: Ya que el OP cambia algunas señales, esta respuesta también cambia los signos.

Ya ha notado $$\frac{1}{zx+y-1}+\frac{1}{yz+x-1}+\frac{1}{xy+z-1}=\frac{y}{y^2-y+4}+\frac{x}{x^2-x+4}+\frac{z}{z^2-z+4}$ $ esta respuesta demuestra que usando eso $x,y,z$ son las soluciones de $t^3-2t^2+\frac 12t-4=0$ nos permite tener una forma más simple y encontrar fácilmente el valor.

Tenemos que %#% $ #% y $$x+y+z=2,\quad xyz=4$ $

Por lo tanto, sabemos que $$xy+yz+zx=\frac 12\left((x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)\right)=\frac{2^2-3}{2}=\frac 12$ son las soluciones de $x,y,z$ $ es decir $$t^3-2t^2+\frac 12t-4=0,$ $ es decir $$(t-1)(t^2-t+4)-\frac{9}{2}t=0,$ $ desde $$\frac{t}{t^2-t+4}=\frac{2}{9}(t-1)$.

Por lo tanto, obtenemos el $t^2-t+4\not=0$ $

Answer 3

La sustitución de $x=2-y-z$ y similar, la suma se convierte en:

$$ S = \sum_{cyc}\frac{1}{x+yz-1} = \sum_{cyc}\frac{1}{1-y-z+yz} = \sum_{cyc}\frac{1}{(y-1)(z-1)}=\cfrac{1}{\prod_{cyc} (x-1)} \sum_{cyc} (x-1) $$

De las relaciones de $\sum_{cyc} xy = \frac{1}{2}\left((\sum_{cyc} x)^2-\sum_{cyc} x^2\right)=\cfrac{1}{2}\,$, así:

$$ \begin{align} \sum_{cyc}(x-1) & = \sum_{cyc} x - 3 = 2 - 3 = -1 \\ \prod_{cyc}(x-1) & = xyz - \sum_{cyc} xy + \sum_{cyc} x - 1 = 4 - \cfrac{1}{2} + 2 - 1 = \cfrac{9}{2} \end{align} $$

Por lo tanto,$\,S=\cfrac{1}{\frac{9}{2}} \cdot (-1) = - \cfrac{2}{9}\,$.

---

P. S. Para una alternativa de derivación, tenga en cuenta que $x,y,z$ son las raíces de $\,2t^3-4t^2+t-8=0$ por Vieta fórmulas. El polinomio con raíces $x-1,y-1,z-1$ se puede obtener con la sustitución de $t=u+1$ que, después de la expansión de los poderes y la recolección, los resultados en $2u^3+2u^2-u-9=0\,$. Por lo tanto,$\,\sum_{cyc} (x-1) = -1\,$$\,\prod_{cyc} (x-1) = \cfrac{9}{2}\,$.

Answer 4

La siguiente respuesta evita cualquier manual de cálculo y reduce el problema a un cálculo de bases de groebner con un sistema de álgebra computacional. Así que tal vez no se muy bien lo que se le pidió, pero es una buena prueba de lo que es posible con Macaulay 2 (o sistemas similares).

Los polinomios $f_1 = x + y + z -2$, $f_2 = x^2 +y^2+z^2 -3$, $f_3 = x y z - 4$ definir un cero-dimensional ideal $I$ grado $6$$R = \mathbb{Q}[x,y,z]$, que es invariante bajo $S_3$. Un cálculo con Macaulay2 demuestra que $I$ es el primer y así uno puede definir los anillos $S = R/I$, una integrante de dominio, y $T=Q(S)$, el cociente de campo. Así que cada cociente

$$\frac{g(x,y,z)}{h(x,y,z)} \in T$$

invariant under $S_3$ can be reduced to a rational number. The following Macaulay 2 session shows the calculation (with a bonus of getting the value $1/(x^3+y^3+z^3)$):

Macaulay2, version 1.9.2
with packages: ConwayPolynomials, Elimination, IntegralClosure, LLLBases, PrimaryDecomposition,
               ReesAlgebra, TangentCone

i1 : R=QQ[x,y,z]

o1 = R

o1 : PolynomialRing

i2 : f1=x+y+z-2

o2 = x + y + z - 2

o2 : R

i3 : f2=x^2+y^2+z^2-3

      2    2    2
o3 = x  + y  + z  - 3

o3 : R

i4 : f3=x*y*z-4

o4 = x*y*z - 4

o4 : R

i6 : S=R/ideal(f1,f2,f3)

o6 = S

o6 : QuotientRing


i11 : idI1 = ideal(f1,f2,f3)

                             2    2    2
o11 = ideal (x + y + z - 2, x  + y  + z  - 3, x*y*z - 4)

o11 : Ideal of R

i12 : primaryDecomposition idI1

                               2            2                  3     2
o12 = {ideal (x + y + z - 2, 2y  + 2y*z + 2z  - 4y - 4z + 1, 2z  - 4z  + z - 8)}

o12 : List

i13 : isPrime idI1

o13 = true

i14 : T= frac S

o14 = T

o14 : FractionField

i15 : 1/(z*x+y-1)

                -1
o15 = ---------------------
             2
      y*z + z  - y - 2z + 1

o15 : T

i16 : 1/(z*x+y-1)+1/(z*y+x-1)+1/(x*y+z-1)

      -2
o16 = --
       9

o16 : T

i17 : use R

o17 = R

o17 : PolynomialRing

i18 : dim S

o18 = 0

i19 : degree idI1

    o19 = 6

i20 : use T

o20 = T

o20 : FractionField


i21 : 1/(x^3+y^3+z^3)


       1
o21 = --
      17

o21 : T

Answer 5

Este problema no tiene solución, dadas las actuales condiciones.

Explicación:

Vamos a considerar $x \cdot y \cdot z=4$

Para obtener el número de $4$ tres ecuaciones son posibles: $4 \cdot 1$, $2 \cdot 2$, $1 \cdot 4$ ( estoy saltando la negación de las operaciones en el momento ... )

Este es un ejemplo sencillo de Fermat factorización de un número compuesto: $(x \cdot y) \cdot z=4$. Desde $4$ es un número positivo... si desea aumentar el valor de $z$, por ejemplo, para la igualdad de $8$, o incluso sustituir con polinomio o número complejo, entonces $x \cdot y$ necesita por reducir a la mitad. Cada cambio en $z$ afectarán $x \cdot y$

a) $z=0$

Cualquier número multiplicado por $0$ es igual a $0$ por lo tanto $x \cdot y$ no importa

b) $z=1$

$x=1,y=4 \lor x=2, y=2 \lor x=4, y=1$ a su máximo.

c) $z=2$

$x=1, y=2 \lor y=2, x=1$

d) $z=4$

$x=1, y=1$

Con base en lo anterior, la primera condición donde $x+y+z=2$ no puede ser cumplida, donde los valores mínimos para la $x$ o $y$ es sólo igual a $1$.