¿Generalización de los espacios métricos?

Question

Normalmente definimos una métrica sobre un espacio $X$ para ser un mapa $X\times X\to\mathbb{R}$ que satisface algunos axiomas. $\mathbb{R}$ tiene por supuesto un orden total. ¿Y si en lugar de eso tenemos una métrica $X\times X\to A$ donde $A$ es un monoide con algún tipo de orden más débil en él (digo monoide porque la desigualdad del triángulo requiere la adición, y también necesitaríamos un cero). Me parece que si $A$ es un conjunto monoide y dirigido, y si definimos los conjuntos abiertos como conjuntos para los que cada punto tiene una bola alrededor contenida en el conjunto, entonces esta métrica generalizada induce una topología sobre $X$ .

¿Esto ya existe? ¿Qué espacios topológicos pueden estar dotados de este tipo de métrica? Esto parece natural porque al pasar de espacios métricos a espacios topológicos tenemos que hablar de redes (mapas de conjuntos dirigidos) en lugar de secuencias (mapas de los números naturales). Esto es en cierto modo análogo.

Edición: Cambiado el grupo por el monoide.

Answer 1

El papel

Ralph Kopperman. 1988. Todas las topologías provienen de métricas generalizadas. Am. Math. Monthly 95, 2 (febrero de 1988), 89-97, doi:10.2307/2323060 .

hace esto (generaliza el codominio de una métrica a una clase bastante grande de conjuntos con adición y orden) y muestra que "todos" (recuerdo una charla sobre ello que lo mostraba para los espacios de Tychonoff, así que puede que no sean realmente todos) los espacios topológicos pueden estar así dotados.

Ha habido más esfuerzos de este tipo (algunos bastante teóricos en cuanto a la categoría, otros de aplicaciones informáticas), pero no tengo referencias exactas al respecto. Este trabajo lo he visto presentado y tu pregunta me lo ha recordado.

Answer 2

Como ya se ha respondido, Kopperman introdujo (en "todas las topologías provienen de métricas generalizadas") la noción de semigrupo de valores y luego definió un espacio de continuidad como un espacio métrico (sin simetría ni separación) que toma valores en un semigrupo de valores. Un semigrupo consiste, como parte de la definición, en un subconjunto de elementos positivos, y éstos se utilizan para definir la topología inducida. Todo espacio topológico surge de este modo. Las topologías completamente regulares son precisamente las que surgen de un espacio de continuidad en el que la métrica es simétrica. Kopperman (en "First order topological axioms") discute más axiomas de separación en este contexto.

En un artículo posterior ("Quantales y espacios de continuidad") Flagg introdujo la noción de quantales de valor, y los utiliza en lugar de los semigrupos de valor para definir los espacios de continuidad. Los quantales de valor son bastante diferentes de los semigrupos de valor, y en cierto sentido son más estrictos (es decir, tienen más estructura). En particular, la noción de elementos positivos se vuelve interna. Flagg demuestra que todo espacio topológico es, pues, metrizable. En una nota sobre la metrizabilidad de los espacios se demuestra que este resultado se extiende a una equivalencia de categorías entre $Top$ y la categoría de todos los espacios de continuidad de Flagg y funciones continuas. Sigue siendo cierto que los espacios completamente regulares son precisamente aquellos espacios que son simétricamente metrizables.