Problema del teorema de convergencia dominante de Lebesgue

Question

Tengo problemas para utilizar el DCT para lo siguiente

Prueba $$\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty \frac{n}{(1+y)^n(ny)^\frac{1}{n}}dy = 1$$

Creo que la mayor parte de la masa de la integral se encuentra debajo $(e-1)/n$ pero ahora no creo que esto sea cierto, así que esperaba dividir la integral en dos partes, pero eso no pareció ayudar. Así que parece que estoy atascado en este momento.

Cualquier ayuda o sugerencia será muy apreciada. Me sería más útil si me diera una sugerencia general en lugar de una específica. Por ejemplo, cómo encontrar la función dominante para las integrales que se convierten en mareas como $n \rightarrow \infty$ o cómo elegir el punto para dividir la integral en dos bits.

Gracias

Answer 1

Como digo en el comentario, esto es falso tal y como está planteado, pero estoy asumiendo que el OP se olvidó $\lim_{n\rightarrow \infty}.$ Si es así, entonces para un $n$ se trata de una integral de función beta estándar, que es igual a $$\frac{n^{-1/n} \Gamma \left(2-\frac{1}{n}\right) \Gamma \left(n-2+\frac{1}{n}\right)}{\Gamma (n).}$$

Esto, a su vez, va a $0,$ no $1$ como $n$ llega hasta el infinito, así que o bien la respuesta que se afirma es errónea, o bien hay otro error tipográfico en alguna parte.

Answer 2

Estoy de acuerdo con Igor en que el límite es $0$ . Sin embargo, puedes probar esta afirmación utilizando el DCT. Sólo hay que preocuparse por los valores grandes de $n$ Así que escoge $N=3$ decir, entonces cuando $y>1$ se puede delimitar la función mediante $$\frac{y}{(1+y)^{3}}\leq\frac{1}{(1+y)^{2}}$$ que es integrable. Por otro lado, para $y<1$ se puede limitar por $$y^{1-\frac{1}{3}}$$ que es integrable en $[0,1]$ . Así que esa función definida a trozos tiene un solo punto de discontinuidad, por lo tanto es integrable, y se aplica la DCT. Sin embargo, si se intercambia el límite con la integral se obtiene $0$ ...no $1$ .

Answer 3

$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\int_{0}^{\infty}\frac{n}{(1+y)^n(ny)^{1/n}}dy = \lim_{n \rightarrow \infty}\int_{0}^{\infty} (1+\frac{x}{n})^{-n}x^{-\frac{1}{n}}dx $$ por sustituto $y = \frac{x}{n}$ .

Dejemos que $f_{n} = (1+\frac{x}{n})^{-n}x^{-\frac{1}{n}}$

Entonces, por DCT, está claro que la integral anterior es $1$ .

De hecho, no sé qué es $g$ que dominan $f_{n}$ .

No estoy seguro, pero se puede utilizar el lema de Fatou para $\liminf$ y $\limsup$ utilizando $$ \int \liminf_{n \rightarrow \infty} f_{n}du \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \int f_{n}du \leq \limsup_{n \rightarrow \infty} \int f_{n}du \leq \int \limsup_{n \rightarrow \infty} f_{n}du $$

donde $$ \int \liminf_{n \rightarrow \infty} f_{n}du = \int \limsup_{n \rightarrow \infty} f_{n}du = \int_{0}^{\infty}e^{-x}dx = 1 $$