Dequantizing Dirac ' regla de cuantización de s

Question

En esta entrada del blog, Lubos Motl reclamos de que cualquier

el conmutador puede ser demostrado para reducir a la clásica de los corchetes de Poisson: $$ \lim \limits_{\hbar \to 0} \frac{1}{i\hbar} \left[ \hat{F}, \hat{G} \right] = \{F, G\},$$

donde $\hat{F}$ $\hat{G}$ son los Hermitian los operadores correspondientes a la clásica observables $F$$G$. Cómo se hace esto?

Edit: Como ACuriousMind señala que la prueba es trivial si usted comienza con un clásico de Hamilton y, a continuación, cuantizar a través de un razonable cuantización procedimiento. Pero lo que tengo en mente es comenzar con un Hamiltoniano cuántico (y canónica de la conmutación de la relación de $[\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\, \delta_{ij}$), luego de tomar algunas límite de $\hbar \to 0$ y mostrando que la resultante de la emergente teoría clásica ha corchetes de Poisson que de acuerdo con la cuantía de los conmutadores. Bajo estos supuestos, no puede usar ninguna información acerca de su cuantización de procedimiento, porque nunca cuantizar un clásico de Hamilton.

Answer 1

Permítanme reorganizar la lógica de la Moyal Soporte que @ACuriousMind examinó cuidadosamente, visitando a un nocional planeta donde la gente de alguna manera descubrió la mecánica clásica y la mecánica cuántica de manera independiente; pero sufrió un terrible bloqueo mental que les impide apreciar que existe una relación entre los dos, en un primer momento.

Entonces, un día, su Groenewold observó que, a partir de QM, donde los capitales denotar QM operadores, $[P,Q]=PQ-QP=-i\hbar,\,$, etc..., y las minúsculas denotan clásica del espacio de la fase entidades, él podría tomar cualquier operador función de P y Q, Φ, y el paquete de todos sus elementos de la matriz en las siguientes c-número de generación de función, $$ f(q,p)= 2 \int_{-\infty}^\infty \text{d}y~e^{-2ipy/\manejadores}~ \langle q+s| \Phi (Q,P) |q-s \rangle,$$ (lo que podríamos reconocer como nuestro Wigner mapa para el espacio de fase en nuestro planeta), es decir, completamente especificado por la totalidad de sus elementos de la matriz, $$ \langle x| \Phi |y \rangle = \int_{-\infty}^\infty {\text{d}p\sobre h} ~e^{ip(x-y)/\manejadores}~ f\left({x+y\over2},p\right) . $$ Él descubrió que el operador Φ en realidad podría ser extraída de la inversión de la anterior, por lo que es un operador funcional de la cuántica c-número de la función f(q,p), que, por supuesto, también depende de $\hbar$, en general, $$ \Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint\!\!\! \iint f(q,p) ~e^{i(a(P-q) +b(P-p))}~ \text{d}q\, \text{d}p\, \text{d}\, \text{d}b.$$

Observar cómo esta forma expresa Φ(Q,P), con su compleja y caprichosa ordenamiento de las cadenas de Ps y Ps, ahora en una forma donde Ps y P son completamente simétrica (la exponencial de ser formal el poder infinito de la serie de desarrollo del mismo).

(En nuestro planeta, este inversa mapa se llama la Weyl mapa, y fue descubierto en primer lugar, en un esfuerzo mal dirigido para empezar con la clásica cantidades f(q,p) y de alguna manera, por arte de magia!, se los llevó a su quantum corresponsales, que saben acerca de $\hbar$, así que con más información que aparece de la nada, pero no importa. Todavía Kubo era el uno para apreciar este procedimiento automáticamente Weyl-órdenes arbitrarias de los operadores, es decir, los rendimientos de la igualdad de los operadores en este especial de ordenación, en general de aspecto diferente).

Por otra parte, este Wigner mapa mapas de espacio de Hilbert operador conmutadores $[\Phi,\Gamma]/(i\hbar)$ a lo que llamamos el Moyal Soporte, $$\frac{2}{\manejadores} ~ f(x,p)\ \sin \left ( {{\tfrac{\manejadores }{2}}(\overleftarrow{\partial}_x \overrightarrow{\partial}_{p}-\overleftarrow{\partial}_{p}\overrightarrow{\partial }_{x}} )\right ) \ g(x,p), $$ donde se nota el líder plazo en la serie de Taylor w.r.t. $\hbar$ es sólo $\{f,g\}$, el Corchete de Poisson. El espacio de Hilbert huellas mapa del espacio de la fase integrales.

(Revelación completa: una expansión de estos movimientos se pueden encontrar en nuestro folleto Un breve Tratado sobre la Mecánica Cuántica en el Espacio de Fase por Curtright, Fairlie, y Zachos, WS 2014, cf. actualización en línea, o la mayoría de los otros textos populares sobre el tema.) Hasta el momento, absolutamente nada de la física, o la visión: a través de una técnica de cambio de idioma, llanura QM era simplemente re-expresadas en c-número del espacio de fase.

Ahora, sin embargo, nuestro Tralfmadorean Groenewold debe de haber sido muy complacido de hecho, ya que él también sabía que esto era en el ámbito de la mecánica clásica, de modo que él pudiera hablar tanto de QM de la mecánica clásica y en el mismo aliento. Él entonces pudo observar que la mayoría de los "grandes", macroscópico de los sistemas y entidades de la participación de grandes números cuánticos, y grandes acciones en comparación a $\hbar$, se comportan como clásicos de c-número de funciones del espacio de fase familiar a partir de la mecánica clásica (corregido por $\hbar$-fuzz, ignorable por muy pequeño $\hbar$), la Moyal Soporte para lentamente diferentes funciones (en la escala de la $\hbar$ nuevo, donde la ondulación y la interferencia de la regla), devolved a los corchetes de Poisson, etc... que Él debe haber sido fuera de sí con el emergente de la mecánica clásica límite que encontró.

Por lo tanto, aunque f, g, etc, dependen de $\hbar$ como objetos cuánticos, las que tienen una nonsingular límite de $\hbar\to 0$ reducir a limpio ingeniería física (estudiante de primer año de laboratorio) las cantidades libres de la frustrante complicaciones de la mecánica cuántica. Oh, queridos: las variables son efectivamente conmutativa, al sacrificio (quantum) de la información... de Repente, hablando de trayectorias, en general, podría tener sentido! (Pero entonces el caos y la entropía criado a sus feas cabezas. Pero estamos divagar.)

OK, este es el esquema de los emergentes comportamiento clásico. Varias sutilezas son barridos debajo de la alfombra, incluyendo macroscópicas de los sistemas cuánticos, etc..., pero el jengibre pisado de la conquista de la niebla de la $\hbar$, y la decoherencia es un amigo.

El invertible por encima de los mapas, sin embargo, no tienen nada que ver con la cuantización--son meros cambios de variables. Pero ayudan a monitorear, si usted desea ir de Dirac manera, y de ahí el nombre equivocado "deformación de cuantización": se pretende iniciar con $\hbar$independiente de fs y el PB y "inteligentemente deforman" a la MB por adivinar el $\hbar$-corrección en la belleza intuitiva de los principios. Pero usted nunca obtener la correcta cuadrado del momento angular de esta manera. La cuantificación es un arte, un misterio.

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La conveniencia de Editar para conectarse a antistandard pedidos: @OkThen replica el antistandard el pedido de prescripción, que Kirkwood 1933 utilizado, en eqn (121) del libro citado anteriormente; no pude resistir los momentos de aprendizaje. Es, por supuesto, equivalente a la Wigner-Weyl mapa que aquí se analizan, como @ACuriousMind y @tparker punto. Todos estos Hilbert-espacio para espacio de la fase de mapas, donde de acuerdo a la clásica entidades en $O(\hbar^0)$ es esencialmente forzada como una condición de contorno, así el fracaso de la Dirac correspondencia sería la evidencia de un error, como lo puso de relieve @ACuriousMind.

Explícitamente, pegando un factor adicional $\exp(i\hbar ab/2)$ a la exponencial de la anterior Φ convierte el anterior operador kernel $e^{ib(P-p)} e^{ia(Q-q)}$ dando un poco diferente Φ', representable invertibly a Φ, por supuesto. La imagen correspondiente de la Moyal soporte es, como dado, un poco menos simétrica, $~f(1-\exp(i\manejadores(\overleftarrow{\partial}_x \overrightarrow{\partial}_{p}-\overleftarrow{\partial}_{p}\overrightarrow{\partial }_{x} ))g/i\manejadores de dólares, pero, por supuesto, asignable a la MB invertibly, por el mismo mapa. De hecho, esta fue de Dirac de la tesis original de la observación, que la correspondencia de q con P y p con P automáticamente los rendimientos de la condición de contorno discutido, por lo que no podía fallar. Fue sólo con posterioridad cookie-cutter esquema de cuantización de asilo que imprudentemente insistió en la aplicación de este tipo de mapas a la cuantización, ahora excluirse por Groenewold.

Answer 2

Yo no sé acerca de las grandes preguntas. Y la gente parece dar bastante profundo respuestas aquí. Mi contribución es mostrar

$$ \lim_{\manejadores \to \infty} \frac{1}{i\manejadores}[ F(p,x) , G(p,x)] = \{F(p,x), G(p,x)\}_{P. B.} $$

donde $ [ F, G] = F G - F G $ y

$$ \{ F(p,x), G(p,x) \} = \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial G}{\partial p} - \frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial p}. $$

Preliminars.

Con $[x, p] = i \hbar$, usted puede mostrar las dos siguientes igualdades:

$$ [x, f(p) ] = i \manejadores \frac{\partial f}{\partial p} $$

y

$$ [p , g(x) ] = - i \manejadores \frac{\partial g}{\partial x}. $$

Creo que esto es casi obligatorio para todos los QM curso, así que voy a omitir este la derivación. En cualquier caso, el estándar de la ruta es considerar el colector de x con el aumento de las potencias de p; a continuación, utilice inducción al desarrollo de la $f(p)$ como una serie de Taylor.

Más ejemplo ilustrativo es el siguiente:

$$ [x^{2} , f(p) ] = [x ,f(p) ] x + x [x, f(p)] \\ = i \manejadores f'(p)\, x + i \manejadores x \, f'(p) = 2 i\manejadores x f'(p) - i\manejadores [x , f'(p)]\\ = 2 i \manejadores x f'(p) - (i \manejadores)^{2} f"(p) $$

donde he introducido el muy útiles en la notación $ f'(p) = d f /dp $.

Por ahora se puede ver que la diversión está en los poderes arbitrarios de $x$. Usted debe ser capaz de adivinar el resultado y probarlo por inducción.

Lema.

$$ [x^{n} , f(p) ] = \sum_{j=1}^{n} (-)^{j+1} \binom{n}{k} \, i \manejadores)^{j} x^{n-j} \, f^{(j)}(p) $$

Prueba: de hacerlo. El uso de la inducción. Debe ser más o menos sencillo. Por el camino, $\binom{n}{k}$ denota el coeficiente binomial.

Momento de la verdad.

El argumento anterior puede ser utilizado para incluir una analítica de la función de $x$. Considere la posibilidad de

$$ [ g(x) , f(p)] = \Biggl[ \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} g^{(k)} (0) x^{k}, \, f(p) \Biggr] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} g^{(k)} (0) \Biggl[ x^{k}, f(p) \Biggr] \\ = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} g^{(k)} (0) \sum_{j=1}^{k} (-)^{j+1} C^{k}_{j} \, i \manejadores)^{j} x^{k-j} \, f^{(j)}(p) \\ = \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j+1} \, i \manejadores)^{j} g^{(j)}(x) \, f^{(j)}(p). $$

El truco en el cuarto la igualdad es para cambiar las sumas (y, a continuación, expanda $C^{k}_{j}$... todo encaja muy bien).

Es interesante notar que el doble sumatorias se derrumbó en uno. Esto de alguna manera tiene sentido por análisis dimensional, potencias de x y p disminución juntos, de modo que $\hbar$ aparece.

La parte final es la más sutil punto. Un general $f(x,p)$ es complicado, porque $x$ $p$ no conmutan. Por lo que tendría problemas con el "hermiticity" y el pedido. Voy a elegir cada $p$ a la izquierda de cada $x$. Una vez que esto está de acuerdo, un general $F(p,x)$ puede ser escrito como

$$ F(p, x) = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \,\, f_{n} (x). $$

Ahora, podemos calcular

$$ \Biggl[ F(p,x) , G(p,x) \Biggr] = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \Biggl[ \alpha_{n} (p) \,\,f_{n} (x)\, \beta_{m} (p) \, \, g_{m} (x) \Biggr] \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \biggl[ \, f_{n} (x) \beta_{m} ( p) \biggr] g_{m} (x) + \beta_{m} (p) \, \biggl[ \, \alpha_{n} ( p) , g_{m} (x) \biggr] \, f_{n} (x) \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \, \alpha_{n} (p) \, \biggl( \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j+1} \, i \manejadores)^{j} f^{(j)}_{n} (x) \, \beta^{(j)}_{m} (p) \biggr) \, g_{m} (x) + \beta_{m} (p) \biggl( \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j} \, i \manejadores)^{j} g^{(j)}_{m}(x) \, \alpha^{(j)}_{n}(p) \biggr) \, f_{n} (x) $$

especialmente el uso de

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \, f_{n}^{(j)} (x) = \frac{\partial^{j}}{\partial x^{j}} \biggl( \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \, f_{n} (x) \biggr) = \frac{\partial^{j}}{\partial x^{j}} F(p,x) $$

se ve que usted obtiene el resultado deseado (después de cambiar el sumatorias):

$$ \Biggl[ F(p,x), G(p,x) \Biggr] = \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j} \frac {i \manejadores)^{j}}{j!} \Biggl( \frac{\partial^{j} G}{\partial x^{j}} \frac{\partial^{j} F}{\partial p^{j}} - \frac{\partial^{j} F}{\partial x^{j}} \frac{\partial^{j} G}{\partial p^{j}} \Biggr) $$

porque verás, el único término que sobrevive después de dividir por (i \manejadores) es la primera de ellas. Esto le da a usted el corchete de Poisson. Yo no hice ningún involucrados cálculos porque son de largo. Es más o menos convincentes.

Answer 3

La afirmación es verdadera por la definición misma de la cuantificación, es decir, no hay nada para mostrar. Así que vamos a hablar acerca de la definición de la cuantificación, que es un mapa de la clásica observables a quantum observables.

No hay ninguna cuantización mapa de $f\mapsto \hat{f}$ que envía clásica observables (funciones en el espacio de fase) para cuántica observables (auto-adjuntos a los operadores en el espacio de Hilbert) que cumple

1. $$ \widehat{\{f,g\}} = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[\hat{f},\hat{g}]\tag{1}$$ for all classical observables $f,g$.
2. Para todos los polinomios de $p$, $\widehat{p(f)} = p(\widehat{f})$ para todos los clásicos observables $f$.
3. La representación de la algebra de variables observables es irreductible.

Esto se conoce como la Groenewold-van Howe teorema. La técnica precisa los supuestos acerca de la cuantificación de mapa variar, pero estos son los principales puntos que debe ingenuamente, en "cuantización canónica", cumplir, pero no puede.

Con el fin de permitir la cuantificación mapa uno tiene que debilitar una suposición. Una opción es la deformación de cuantización donde $(1)$ sólo se debe mantener hasta correcciones cuánticas de la orden de $\hbar^2$, y la costumbre de la deformación de la corchete de Poisson es, entonces, el Moyal soporte de $\{\{-,-\}\}$, lo cual está de acuerdo con la ingenuidad de cuantización canónica de la receta para los soportes de las coordenadas $x_i,p_j$ $$ \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[\hat{x}_i,\hat{p}_j] = \widehat{\{x_i,p_j\}} = \widehat{\{\{x_i,p_j\}\}}$$ pero se desvía para la mayor polinomios en $x,p$ desde el corchete de Poisson en el orden de las $\hbar^2$ o superior. Así que, por definición, de la deformación de cuantización, tenemos $$ \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[f,g] = \{\{f,g\}\} = \{f,g\} + \mathcal{O}(\hbar^2)$$ donde tomar $\hbar\to 0$ en ambos lados claramente los rendimientos $$ \lim_{\hbar\to 0} \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[f,g] = \{f,g\}.$$

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Si desea comenzar con un sistema cuántico con canónica relaciones de conmutación $[x_i, p_j] = \mathrm{i}\hbar\delta_{ij}$ "sin haber obtenido por la cuantización", entonces eso es simplemente imposible, no puede haber "obtenido" es mi cuantización, pero es el mismo que el resultado de la norma de cuantización:

Por la Piedra-teorema de von Neumann, todas las representaciones de este conmutación relación unitarily equivalente. Así que puede siempre obtener la parte de la cuántica álgebra de características observables generado por $x_i,p_j$ como la deformación de la cuantización de la correspondiente sistema clásico, y la igualdad entre el colector y el corchete de Poisson en el límite clásico es de nuevo inmediata de la definición de la cuantización de procedimiento.