Estoy tratando de obtener este formulario de la Lagrangiano de Dirac de la densidad en la curvatura del espacio-tiempo:
$$ \mathcal{L}~=~\det\left(e\right)\bar{\Psi}\Bigg (\frac{i}{2}\gamma^{a}\partial_{a}-m+\gamma^{a}\gamma^{5}B_{a}\Bigg)\Psi $$
a partir de este formulario: $$ \mathcal{L}~=~\sqrt{-g}\Bigg (\frac{i}{2} \bar{\Psi} \gamma^{a} \stackrel{\leftrightarrow}{D}_{a} \Psi-\bar{\Psi}m\Psi \Bigg) $$
Puedo obtener el primer término, sin embargo, en el último término en el que obtener un factor de $ \quad - \frac{1}{2} \quad$ de la parte frontal, es decir, $$ \mathcal{L}~=~\det(e)\bar{\Psi}\Bigg (\frac{i}{2}\gamma^{a}\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_{a}}-m-\frac{1}{2}B_{a}\gamma^{a}\gamma^{5}\Bigg)\Psi $$ He intentado derivar de varias maneras diferentes y siempre terminan con la expresión anterior. El problema es que en todos los artículos que he leído sobre el tema, es dado en la forma como se presenta en la parte superior de esta página. Si ayuda, aquí hay un enlace a mi derivación en su totalidad: http://we.tl/mUgiw0BkMh
Realmente apreciaría cualquier ayuda en la solución de este problema.
