Ver esto respuesta por ejemplo. (Una función está en la clase Baire uno si es el límite puntual de funciones continuas, en la clase Baire dos si es el límite puntual de funciones de la clase Baire uno, etc. La respuesta muestra ejemplos "naturales" de funciones de clase Baire dos pero no de clase Baire uno).
De hecho, se puede hacer mejor, y mostrar que la secuencia de clases de Baire es bastante larga (tiene longitud $\omega_1$ el primer ordinal incontable). Un esbozo de alto nivel de este hecho utiliza algunas ideas de la teoría descriptiva de conjuntos. Sigo aquí a A.C.M. van Rooij y W.H. Schikhof, Un segundo curso sobre funciones reales , Cambridge University Press, 1982. Pueden encontrarse resultados más contundentes en A. Kechris, Teoría de conjuntos descriptiva clásica , Springer, 1995.
En primer lugar, dada una clase $\mathcal A$ de funciones en $\mathbb R$ , defina $\mathcal A^*$ como la clase de límites puntuales de funciones de $\mathcal A$ Así que si $\mathcal A$ es la clase $\mathcal B^0$ de funciones continuas (es decir, funciones de clase cero de Baire), entonces $\mathcal A^*=\mathcal B^1$ es la clase de funciones de clase uno de Baire, $(\mathcal A^*)^*=\mathcal B^2$ es la clase de funciones de clase dos de Baire, etc.
El Funciones medibles de Borel son el cierre de las funciones continuas bajo la operación de tomar límites puntuales.
Llamar a una función $F:\mathbb R^2\to\mathbb R$ a catálogo de $\mathcal A$ si $F$ es medible por Borel y para cada $f\in\mathcal A$ hay un $s\in[0,1]$ tal que $f(x)=F(x,s)$ para todos $x$ . (Podemos pensar en $s$ como un "código" para $f$ .) Tenga en cuenta que estamos no exigiendo que para cada $s\in[0,1]$ la función $f(x)=F(x,s)$ estar en $\mathcal A$ .
Teorema.
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Si $\mathcal A_1,\mathcal A_2,\dots$ tienen catálogos, entonces también $\bigcup_n \mathcal A_n$ .
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Si $\mathcal A$ tiene un catálogo, también lo tiene $\mathcal A^*$ .
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La clase $\mathcal B^0$ de funciones continuas tiene un catálogo.
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La clase de funciones medibles de Borel no tiene catálogo.
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Si $\mathcal A$ es una clase de funciones que contiene todas las funciones continuas y tiene un catálogo, entonces $\mathcal A^*\ne\mathcal A$ .
La prueba del punto 4. es un argumento diagonal: Si $F:\mathbb R^2\to\mathbb R$ es un catálogo para las funciones medibles de Borel $f:\mathbb R\to\mathbb R$ entonces $g(x)=F(x,x)$ y $1+g$ son medibles por Borel. Así que debe haber $s$ tal que $1+g(x)=F(x,s)$ para todos $x$ en particular para $x=s$ Así que $1+g(s)=g(s)$ una contradicción.
El punto 5. sigue, porque si $\mathcal A$ contiene las funciones continuas, y $\mathcal A=\mathcal A^*$ entonces $\mathcal A$ contiene las funciones medibles de Borel. Si $\mathcal A$ admite un catálogo, entonces también lo haría la subclase de funciones medibles de Borel, pero acabamos de demostrar que no es así.
Para el punto 1, supongamos que $F_n$ es un catálogo de $\mathcal A_n$ para todos $n$ . Las funciones $(x,y,z)\mapsto F_n(x,y)$ y $(x,y,z)\mapsto\chi_{\{1/n\}}(z)$ son funciones medibles de Borel en $\mathbb R^3$ pero también lo es $$ H(x,y,z)=\sum_n F_n(x,y)\chi_{\{1/n\}}(z). $$ Recordemos ahora que hay funciones continuas $p_1,p_2:\mathbb R\to[0,1]$ de manera que si $p(x)=(p_1(x),p_2(x))$ entonces la restricción de $p$ a $[0,1]$ es un suryecto de $[0,1]$ en $[0,1]^2$ . Sea $$ F(x,s)=H(x,p_1(s),p_2(s)). $$ Entonces $F$ es un catálogo para $\bigcup_n\mathcal A_n$ .
Para el punto 2., podemos encontrar de forma similar funciones continuas $p_1,p_2,\dots$ tal que para cualquier $y_1,y_2,\dots\in[0,1]$ hay un $x\in[0,1]$ tal que $p_i(x)=y_i$ para todos $i$ . Ahora defina $$ F^*(x,s)=\left\{\begin{array}{cl}\lim_n F(x,p_n(x))&\mbox{ if the limit exists,}\\ 0&\mbox{ otherwise.}\end{array}\right. $$ Si $F$ es medible por Borel, también lo es $F^*$ y es fácil ver que si $F$ es un catálogo para $\mathcal A$ entonces $F^*$ es un catálogo para $\mathcal A^*$ .
Finalmente, llegamos al punto 3., el quid de la cuestión. Queremos demostrar que la clase de funciones continuas tiene un catálogo. Para ello, observemos en primer lugar que $\{f\}$ dispone de un catálogo para cada uno de los continuos $f$ . De ello se deduce que la clase $\mathcal P$ de polinomios con coeficientes racionales tiene un catálogo, por el punto 1. Pero entonces, por el punto 2, también lo tiene $\mathcal P^*$ . Ahora podemos utilizar el teorema de aproximación de Weierstrass para ver que $\mathcal P^*$ contiene todas las funciones continuas, y hemos terminado.
Para terminar, hay que tener en cuenta que si el objetivo es simplemente demostrar que hay funciones que no están en $\mathcal B^1$ (en lugar de mostrar la larga jerarquía de Baire, o indicar ejemplos explícitos como en el enlace anterior), entonces es posible un simple argumento de cardinalidad: Hay $\mathfrak c=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|$ muchas funciones continuas: No puede haber menos, porque las funciones constantes son continuas, y no tenemos más, porque una función continua está determinada por sus valores en el conjunto contable de los racionales. Ahora bien, sólo hay $$|\mathbb R^{\mathbb Q}|=|\mathbb R|^{|\mathbb N|}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\mathfrak c$$ muchas funciones de los racionales a los reales, y las funciones continuas corresponden a un subconjunto (propio) de ellas.
Por último, si una función es un límite puntual de funciones continuas, entonces está determinada por una secuencia contable de tales funciones, y de nuevo sólo hay $\mathfrak c^{\mathbb N}=\mathfrak c$ muchas secuencias de este tipo. Así que $|\mathcal B^1|=\mathfrak c$ . Pero hay $\mathfrak c^{\mathfrak c}>\mathfrak c$ muchas funciones de $\mathbb R$ a sí mismo, por lo que no todos pueden estar en $\mathcal B^1$ .
(Continuando con este argumento, vemos que, incluso si tomamos todas las funciones Baire juntas, no sólo las de clase $1$ , todavía sólo tenemos $\mathfrak c$ muchas funciones, por lo que hay funciones que no están en ninguna de las clases de Baire).