Discutir la convergencia de $\int_0^\infty x \sin e^x \, dx$

Question

$$\int_0^\infty x \sin e^x \, dx$$

He probado la aplicación de la prueba de Dirichlet, la Comparación Principio, integración por partes y sustitución, pero todos han fallado. Ninguna de estas probar que la integral es divergente, aunque, así que no estoy realmente seguro de cómo demostrar que esta converge/diverge.

Mi trabajo:

Dirichlet: No, porque ni $f(x)=x$ ni $g(x)=\sin e^x$ va a cero

Comparación: Se Produce Un Error. $\sin e^x \le1$, por lo $\int_0^\infty x \, dx\ge \int_0^\infty x \sin e^x \, dx$. Sin embargo, $\int_0^\infty x \, dx$ no converge, por lo que esta idea es ineficiente

IBP: $\int_a^b FG'=(F(b)G(b)-F(a)G(a))-\int_a^bGF'$ $$F=x,\quad F'= dx,\quad G' = \sin e^x, \quad G =\text{?}$$ Sustitución: $u(x)=e^x$ $du=e^x$ por lo tanto: $$\int_0^\infty x \sin e^x \, dx=\int_0^{\infty} \ln {u(x)} \sin u(x) \, dx$$ From here, you can use IBP, resulting in: $$F=\ln(u), \quad F'=\frac 1x, \quad G'= \sin u(x), \quad G = -\cos u(x)\cdot u'(x)$$ $$-\ln u(x) \cos u(x) u'(x)|_0^\infty-\int_0^\infty \frac{-\cos u(x) u'(x)}{u(x)}$$ But I feel like this integral is far too complicated for the scope of the question. Additionally, $\ln\infty$ iría hasta el infinito, de todos modos, así que me siento como que no es una forma aceptable de resolver el problema. Gráficamente, mi calculadora dice que la integral debe ser igual a 0.411229, un número que parece no tener significado numérico. ¿Hay alguna otra manera de integrar esta función?

Answer 1

SUGERENCIA:

Que $x=\log y$. Entonces, $dx=\frac1y \,dy$ y

$$\int_0^{\infty}x\sin(e^x)\,dx=\int_{1}^{\infty}\frac{\log(y)\sin(y)}{y}\,dy$$

Ahora tenga en cuenta que el integrando es $\sin y$ veces una función que disminuye monótonamente a $0$. Dado que la integral de la función seno está delimitada en cualquier intervalo, terminar apelando a prueba de Abel.

Answer 2

Deje $y=e^x$. Entonces $$ \int_0^\infty x \pecado e^x \: dx=\int_1^\infty \frac{\ln y} de{y}\pecado y\:dy=\int_{1}^{\pi}\frac{\ln y} de{y}\pecado y\:dy+\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\ln y}{y}\pecado y\:dy $$ Desde $\frac{\ln y}{y}\to0$ $y\to\infty$ y es monótona decreciente, así como de $|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\sin y\:dy|=2$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\ln y} de{y}\pecado y\:dy=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n $$ es una corriente alterna de la serie con $$ 2\frac{\ln (n+1)}{n+1}\leqslant a_n\leqslant 2\frac{\ln n}{n}\quad\text{y }\quad a_n=O(\frac{\ln n}{n})\to0 $$ as $n\to\infty$. Por lo que se converge por el Criterio de Leibniz. Desde $$ \frac{\ln n}{n}=O(\frac1{n^{1-\epsilon}}) $$ No es absoluto convergente.

Answer 3

$$ \int_0^{\infty} x\sin e ^ x dx = - \int_0^{\infty} xe ^ {-x} d (\cos e ^ x) \\ = \left[-xe^{-x}\cos e ^ x \right]_0^{\infty} + \int_0^ {\infty} d (xe ^ {-x}) \cos e ^ x \\ = \int_0^ {\infty}(1-x) e ^ {-x} \cos e ^ x dx $$ y $$ \left|\int_0^{\infty}(1-x) e ^ {-x} \cos e ^ x dx \right| \lt \int_0^{\infty}XE^{-x} dx = 1 $$

Answer 4

Si medios divergentes que no integran su valor absoluto, tenga en cuenta que está limitado por debajo por $1/2$ en el % de intervalos $[\ln(2\pi n +\pi/6),\ln(2\pi n+5\pi/6)]$($n=1,2,\ldots$).