Sea $p$ sea un primo de modo que $p\equiv3\pmod4$ . Si $p|a^2+b^2$ entonces $p|a,b$

Question

Sea $p$ sea un primo de modo que $p\equiv3\pmod4$ . Si $p| a^2+b^2$ entonces $p| a,b$

¿Cómo demuestro este pequeño teorema? Sé que es muy útil. ¿Existen otros pequeños teoremas como éste? Estoy buscando sobre todo demostraciones elementales, así que no se trata de cosas complicadas...

Answer 1

Espero no haberme perdido algo y creo que es bastante elemental:

Utilizando el Pequeño Teorema de Fermats: $a^p\equiv a\mod{(p)}$ y $b^p\equiv b\mod{(p)}$ . Ahora tenemos que $a^{p+1}+b^{p+1}\equiv a^2+b^2 \equiv 0 \mod{(p)}$ . Porque $4\mid p+1$ podemos escribir $p+1=4k$ para algunos $k\in\mathbb{N}$ . Ahora tenemos: $0\equiv a^{4k}+b^{4k}\equiv a^{4k}+(-a^2)^{2k}\equiv a^{4k}+a^{4k}\equiv 2a^{4k} \mod{(p)}$ . Así que ahora eso significa $p$ divide $2a^{4k}$ pero bcs $p>2$ no puede dividir el 2 por lo que tiene que dividir $a^{4k}$ y si es un factor de ella, tiene que ser también un factor de $a$ En otras palabras $p\mid a\Rightarrow p\mid b$ .

Answer 2

El anillo $ \mathbf Z[i] $ es un dominio ideal principal, y cualquier primo que sea 3 módulo 4 es inerte en este anillo. En efecto, escribiendo $ p = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 $ y mirando este módulo 4, encontramos que $ p $ no puede ser $ 3 $ modulo $ 4 $ . Ahora, supongamos que $ p $ divide $ a^2 + b^2 = (a+bi)(a-bi) $ entonces $ p $ divide uno de los factores de la derecha. Por lo tanto, $ p $ divide ambos $ a $ y $ b $ .

Otro enfoque: si tenemos $ a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{p} $ con $ a, b \neq 0 $ entonces $ (a/b)^2 \equiv -1 \pmod{p} $ Así que $ a/b $ tiene orden $ 4 $ en el grupo $ (\mathbf Z/p \mathbf Z)^{\times} $ que tiene orden $ p - 1 $ . No es divisible por $ 4 $ como $ p \equiv 3 \pmod{4} $ contradiciendo el teorema de Lagrange.

Answer 3

Su afirmación se puede replantear en términos de la forma cuadrática $q(x,y) = x^2+y^2$ definido sobre el campo finito $\mathbb{F}_p$ de orden $p$ (para un número primo $p$ ): si $p \equiv 3 \pmod{4}$ entonces para todos $(x,y) \in \mathbb{F}^2$ si $q(x,y) = 0$ entonces $x = y= 0$ .

Pides una generalización, así que aquí tienes una (útil): dejemos que $F$ sea cualquier campo de característica distinta de $2$ . Para $a,b,c \in F$ considerar la forma cuadrática binaria

$q(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2$ .

Decimos que $q$ es isótropo si hay $(x,y) \in F^2 \setminus (0,0)$ tal que $q(x,y) = 0$ y en caso contrario anisótropo . Y allá vamos:

Teorema (pequeño pero útil) : La forma binaria $q(x,y) = ax^2 + bxy + c y^2$ es isótropo en $F$ si y sólo si su discriminante $\Delta = b^2-4ac$ es un cuadrado en $F$ (significado $\Delta = d^2$ para algunos $d \in F$ ).

Permítanme esbozar la prueba: no duden en preguntar si desean más detalles. Como la característica no es $2$ podemos diagonalizar $q$ simplemente "completando el cuadrado". Además, sustituyendo $q$ por $(1/a)*q$ cambia el discriminante de $\Delta$ a $\frac{\Delta}{a^2}$ -- por lo que no afecta a si es un cuadrado. Así que reducimos al caso

$q'(x,y) = x^2 - \frac{\Delta}{4} y^2$ donde el resultado es bastante claro: si $x,y \in F$ no son a la vez $0$ y $q'(x,y) = 0$ entonces $x \neq 0$ y $y \neq 0$ y $\Delta = (2x/y)^2$ . Por el contrario, si $\Delta = d^2$ entonces $q'(d/2,1) = 0$ .

Para el formulario $q(x,y) = x^2 + y^2$ el discriminante es $-4$ que es un cuadrado en $F$ si $-1$ es un cuadrado en $F$ . Por teoría (muy) elemental de números, cuando $F = \mathbb{F}_p$ para un primo impar $p$ tenemos que $-1$ es un cuadrado si $p \equiv 1 \pmod{4}$ .

Para ver por qué es útil, veamos ahora $a,b,c \in \mathbb{Z}$ y considerar la forma cuadrática binaria $q(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2$ de discriminante $\Delta$ y supongamos que para un número primo $p$ no dividir $\Delta$ tenemos

$q(x,y) = p$ . Entonces $x$ y $y$ no son ambas divisibles por $p$ : si $x = pX$ , $y = pY$ entonces $q(x,y) = p^2 q(X,Y) = p$ es una contradicción. Así que encontramos que (la reducción modulo $p$ de) $q(x,y)$ es isótropo en $\mathbb{F}_p$ y por tanto que $\Delta$ es un cuadrado módulo $p$ . Utilizando la reciprocidad cuadrática, esto se traduce en todos los casos en condiciones de congruencia sobre $p$ modulo $\Delta$ .

Este es realmente el primer paso del estudio aritmético de las formas cuadráticas binarias sobre $\mathbb{Z}$ . Véase, por ejemplo este precioso libro de Cox y estas notas basadas en el libro en particular el primer folleto . En esta última referencia, llamo a este hecho la "congruencia fundamental": aparece (en el caso especial $x^2 + ny^2$ ) en la primera página de las notas.