Las matemáticas como una ciencia se hizo más rica cuando Cantor inventó los números verdaderos. Entonces los científicos querían resolver ecuaciones que no eran solubles en los números verdaderos por lo que inventaron los números complejos. ¿Mi pregunta es, será siempre debemos ampliar los números complejos a algún otro conjunto que contiene todos los otros sistemas existentes y nos ayudan para algo? ¿Son números complejos extensible? Gracias de antemano.
Respuestas
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Michael Hardy
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Como una cuenta de la historia de la pregunta es una tontería. Los números reales y los números complejos se pensaba antes Cantor de nacimiento (nació en el siglo 19), y la resolución de ecuaciones algebraicas sin soluciones reales no era el motivo.
Los números complejos se introdujeron en el siglo 16 con el fin de encontrar la verdadera soluciones de tercer grado de ecuaciones algebraicas con coeficientes reales.
Que tipo de proceso para la resolución de ecuaciones algebraicas no le llevará más allá de los números complejos, debido a que un teorema, a menudo erróneamente llamado el "teorema fundamental del álgebra" dice que toda ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene una solución compleja.
Pero, como otros ya han dicho aquí, hay otros motivos para extender el sistema de los números complejos. Los cuaterniones son el ejemplo más extensamente conocido.
Para resolver polinomios, la respuesta es no. El Teorema Fundamental del Álgebra dice que todo (no constante) polinomio, de grado $n$, con coeficientes complejos tiene $n$ raíces (incluyendo repetidos de raíces) en $\mathbb{C}$.
Como resultado de esto, el conjunto de los números complejos, a diferencia del conjunto de los números reales, es algebraicamente cerrado, lo que significa que no podemos 'escape' $\mathbb{C}$ el uso de cualquier elementales operaciones, como las $+, - , \times, \div, \sqrt{}, e^{...}$ etc. Así que, en este sentido, que en realidad no la 'necesidad' para extender los números complejos.
Sin embargo, existen hypercomplex números, como los cuaterniones, $\mathbb{H}$, que, en lugar de usar sólo una unidad imaginaria $i$, el uso de tres: $i, j, k$, cada una de las satisfacciones:$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$
Cuaterniones se utilizan en el modelado 3D de los vectores, y tienen un montón de uso en 3D de la mecánica. Una propiedad útil de una cuádrupla es que esto no satisfacer conmutatividad: por ejemplo,$i\times j \neq j \times i$.
N0w, si usted todavía quiere ir más allá, se puede explorar la octonions, $\mathbb{O},$ que son una extensión de los cuaterniones. Octonions tiene 7 unidades imaginarias: $e_1, e_2, ...e_7$.
Octonions tienen mucho menos (que yo sepa, al menos) usos prácticos que cuaterniones. Octonions también tienen la interesante propiedad de que la falta de asociatividad: por ejemplo, $x\times(y\times z) \neq (x \times y) \times z$ ($x,y,z \in \mathbb{O}$).
Y, por último, por lo menos tan lejos como la matemática, el interés se ha ido, tenemos la sedenions, $\mathbb{S}$. Estos son una extensión de la octonions y tiene 15 unidades imaginarias: $e_1,e_2,e_3,...,e_{15}$. La propiedad especial sobre la sedenions es que tienen cero divisores (lo que significa que no existe la no-cero sedenions $x$ $y$ tal que $xy=0$). Muy interesante, esta propiedad, ¿no? No especialmente, intuitivo, para decir lo menos.
Ahora, voy a dejar como un ejercicio para averiguar acerca de las aplicaciones de hypercomplex números, y cómo multiplicar (sugerencia: Google 'Fano avión mnemónico", que explica cómo multiplicar octonions - esta misma idea puede extenderse a la sedenions).
Kristoffer Ryhl
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Puede ampliar los números complejos, obtener quaternions. Que puede utilizarse, por ejemplo infografía en 3D en lugar de matrices. Es posible hasta los quaternions tantas veces como usted quieren, como hiciste con el complejo para los quaternions.
6005
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Otros ya han mencionado los cuaterniones. Yo sólo quería hablar de la surcomplex números, que, si bien carece de la propiedad de ser un conjunto de satisfacer todas las propiedades de un algebraicly campo cerrado. Usted obtener estos números por tomar el surrealista números (un gigantesco totalmente ordenado campo que contiene todas totalmente ordenado de campo en existencia) y al lado el elemento $i$, que es otros análogos a cómo se construye $\mathbb{C}$ colindando $i$$\mathbb{R}$.
Andy Jacobs
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Se extiende aún más, es posible, pero pierdes cierta agradable propiedades. Cuaterniones no son más conmutativa, octonions no más asociativo. En las dimensiones superiores, no se puede esperar a tener ningún tipo de "razonablemente agradable multiplicación" y "norma", porque los mayores dimensiones en las esferas no son totalmente paralelizable. Esto significa que usted no puede elegir una base del espacio de la tangente de $1$ en la esfera de la $S^{n-1}$ de la unidad de vectores, y la extendemos a $n-1$ independiente distinto de cero campos vectoriales por la izquierda de la multiplicación. (a excepción de $n=1,2,4,8$; esto es conocido de topología algebraica).
Por otro lado, hay algunas buenas estructuras en las dimensiones de $2^n$, como álgebras de Clifford, o el de Cayley-Dickson construcion.
