% De relación de recurrencia alternante $a_n = b_{n-1} + 5$y $b_n = na_{n-1}$

Question

Yo soy de inserción mi cerebro en la resolución de la relación donde:

$$a_n = b_{n-1} + 5$$ $$b_n = na_{n-1}$$

donde $a_0$ = $b_0$ = 1

Estoy tratando de encontrar la forma cerrada para $a_n$. He intentado cambiando $b_n = na_{n-1}$ $b_{n-1} = (n-1)a_{n-2}$sustituyendo n por n-1. Luego me conecte $b_{n-1}$ $a_n = b_{n-1} + 5$ conseguir $a_n = (n-1)a_{n-2} + 5$

Estoy tratando de usar el método de generación de funciones para ello. Tengo que $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$. Ahora me muevo a la n = 3 duración del sumando y conseguir $1+6x+6x^2 + \sum_{n=3}^{\infty} a_{n}x^{n}$$a_0 = 1, a_1 = a_2 = 6$, a Continuación, sustituimos en la relación para obtener $1+6x+6x^2 + x^2\sum_{n=3}^{\infty} ((n-1)a_{n-2}+5)x^{n-2}$ = $1+6x+6x^2 + x^2\sum_{n=3}^{\infty} (n-1)a_{n-2}x^{n-2}+\sum_{n=3}^{\infty}5x^{n-2}$ Yo sé qué hacer con este último término como $\sum_{n=3}^{\infty}5x^{n-2} = 5x/(1-x)$. Yo sin embargo no estoy seguro de qué hacer con el $\sum_{n=3}^{\infty} (n-1)a_{n-2}x^{n-2}$ plazo que hay una (n-1). Yo, sin embargo, ver que $(n-1)a_{n-2}x^{n-2}$ parece que se podría integrar con respecto a x para convertirse $a_{n-2}x^{n-1}$. Si luego me tire de un x que yo podría terminar con:

$1+6x+6x^2 + x^3/(1-x)+ 5x/(1-x)$

Pero yo soy de la primera tembloroso sobre cómo llegué a esto, pero soy además preguntándose cómo esta sería una forma cerrada es decir, no tenemos ni x en la secuencia.

Pensamientos sería muy apreciada.

Gracias,

Brian

Answer 1

Empezar con la repetición $a_n$: $$ a_n =(n-1) a_ {n-2} + 5 $$

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Que $c_n=\dfrac{a_{2n}}{(2n-1)!!}$ y Obtén $$\begin{align} a_{2n}&=(2n-1)a_{2n-2}+5\\ (2n-1)!!\,c_n&=(2n-1)!!\,c_{n-1}+5\\ c_n&=c_{n-1}+\frac5{(2n-1)!!} \end {Alinee el} así $$, $$\begin{align} a_{2n} &=(2n-1)!!\left(1+5\sum_{k=1}^n\frac1{(2k-1)!!}\right)\\ &=\left\lfloor(2n-1)!!\,\left(1+5\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\mathrm{erf}\left(\frac1{\sqrt2}\right)\right)\right\rfloor&&\text{for }n\ge3 \end {alinee el} $$

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Que $c_n=\dfrac{a_{2n+1}}{(2n)!!}$ y Obtén $$\begin{align} a_{2n+1}&=2na_{2n-1}+5\\ (2n)!!c_n&=(2n)!!c_{n-1}+5\\ c_n&=c_{n-1}+\frac5{(2n)!!} \end {Alinee el} así $$, $$\begin{align} a_{2n+1} &=(2n)!!\left(6+5\sum_{k=1}^n\frac1{(2k)!!}\right)\\ &=\left\lfloor(2n)!!\,\left(1+5\sqrt{e}\right)\right\rfloor&&\text{for }n\ge2 \end {alinee el} $$

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Por lo tanto, índices superiores al $4$, obtenemos las fórmulas cerradas $$\begin{align} a_{2n}&=\left\lfloor c_{\text{even}}\,(2n-1)!!\right\rfloor&&\text{for }n\ge3\\ a_{2n+1}&=\left\lfloor c_{\text{odd}}\,(2n)!!\right\rfloor&&\text{for }n\ge2\\ \end {Alinee el} $$ donde $$\begin{align} c_{\text{even}}&=1+5\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\mathrm{erf}\left(\frac1{\sqrt2}\right)&&=8.05343067321223998845412355710\\ c_{\text{odd}}&=1+5\sqrt{e}&&=9.24360635350064073424325393907\\ \end {Alinee el} $$

Answer 2

Tenemos que $a_{n+1}=na_{n-1}+5$.

Definir $A(z)$ como hiciste $\sum a_nz^n$. Multiplicar por $z^{n+1}$ y agregar para todos los $n$. Tenemos

$$\sum a_{n+1}z^{n+1}=z^2\sum na_{n-1}z^{n-1}+5\sum z^{n+1}$$

que es

$$A(z)=z^2(zA(z))'+\frac{5z}{1-z}.$$

Útil para traducir las operaciones en la secuencia de operaciones en la generación de la función de esta lista.

Puede que tenga que agregar un polinomio de la ecuación en función de las condiciones iniciales, que yo no estoy buscando.

Se puede resolver la ecuación diferencial?

Existen procedimientos generales para resolver estos tipos de ecuaciones diferenciales.

Answer 3

Arce se obtiene la siguiente. Para $n$ impar. En términos de la función Gamma incompleta.

$$ b_{{n}}=\frac{1}{4\sqrt{\pi}}{{{2}^{n/2+1/2} \left( 10\,{{\rm e}^{1/2}}\sqrt {\pi }\; \Gamma \left( n/2+1 \right) {{\rm fer}\left(\sqrt {2}/2\right)} \sqrt {2}+5\,\sqrt {2}n\Gamma \left( n/2,1/2 \right) {{\rm e}^{1/2 }}\sqrt {\pi }\\-10\,{{\rm e}^{1/2}}\sqrt {\pi }\;\Gamma \left( n/2+1 \right) \sqrt {2}+4\,\Gamma \left( n/2+1 \right) \right) }} $$

$b_1=1, b_3=18, b_5=115$

y para $n$ incluso $$ b_{{n}}= \left( 5\,{{\rm e}^{1/2}}\Gamma \left( n/2,1/2 \right) + \Gamma \left( n/2 \right) \right) {2}^{n/2-1}n $$

$b_0=0,b_2=12,b_4=68$

Answer 4

Comienzan con $a_n = (n − 1) a_{n − 2} + 5$ y tenga en cuenta que se trata de una repetición lineal de primer orden en $b_n = a_{2 n + 1}$:

$$ b {n + 1} = 2 n b_n + 5 $$

Factor suma es $\prod_{0 \le k \le n} 2 n = 2^n n!$:

$$ \frac{b_{n + 1}} {2 ^ n n!} - \frac{b_n}{2^{n - 1} (n - 1)!} = \frac{5}{2^n n}! $$

Suma de $1 \le k \le n$ para obtener:

$$ \frac{b_{n + 1}} {2 ^ n n!}-b_1 = 5 \sum_{1 \le k \le n} \frac{2^{-n}}{n!} $$

El lado derecho es (casi) $5 \left(e^{1/2} - 1 \right)$, que $a_{2 n + 1} = b_n \approx a_1 + 5 \cdot 2^{n - 1} (n - 1)! \left(e^{1/2} - 1\right)$