Trig ayuda de la ecuación por favor

Question

Estoy tratando de resolver $\sqrt{3}\tan\theta=2\sin\theta$ en el intervalo $[-\pi,\pi]$.

$$\sqrt{3}\tan\theta=2\sin\theta \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{2\sin\theta}{\tan\theta}$$

$$\Rightarrow \sqrt{3}=2\sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \Rightarrow 3 = 4\cos^2\theta$$

Obtener $\displaystyle \cos \theta = \pm{\frac{\sqrt{3}}{2}}$; el coseno de $30^{\circ}$ $150^{\circ}$ tan llegaron y el % de soluciones $\displaystyle -\frac{5}{6}\pi,-\frac{1}{6}\pi,\frac{1}{6}\pi,\frac{5}{6}\pi$.

La respuesta es en la parte de atrás del libro (y comprobación con Wolfram), $\displaystyle -\pi,-\frac{1}{6}\pi,0,\frac{1}{6}\pi,\pi$.

¿Dónde voy mal por favor?

Answer 1

Al cuadrado ambos lados de una ecuación se obtiene una nueva ecuación que tiene todas las soluciones de la primera, pero no puede admitir otras soluciones. Que estaba en el paso de $\sqrt{3}=2\cos\theta \Rightarrow 3=4\cos^2 \theta$.

Añadido: También puede sólo dividir su primera ecuación por $\sin \theta\neq 0$. Pero para $\theta=0$ o $\theta=\pm\pi$, $\sin\theta=\tan\theta =0$, que son soluciones de la ecuación inicial.

Añadido 2: En general, la ecuación de $A^n=B^n$ tiene todas las soluciones de la ecuación de $A=B$, pero puede haber otros. Esto es una consecuencia de la identidad algebraica $$A^n-B^n=(A-B)(A^{n-1}+A^{n-2}B+\cdots +AB^{n-2}+B^{n-1}).$$

Answer 2

Cuadrados ¿por qué la ecuación? $\cos \theta = \frac{\sqrt 3}{2}$ es más fácil de resolver. También, incluyen las soluciones de $\sin \theta = 0$ $\sin \theta$ de cancelar.

Answer 3

Queridos PUK, se olvidó de $\theta=0$ debido a que se divide la ecuación de $\tan\theta$ en el primer paso, que sólo es posible si $\tan\theta$ es distinto de cero y finito. Por eso $\theta=0$ $\theta=\pi$ $\theta=-\pi$ que $\tan\theta$ desaparecen debe ser marcada por separado y, de hecho, usted encontrará que la ecuación se cumple debido a $0=0$.

Por otro lado, añadido a las soluciones erróneas $\pm 5\pi/6$ debido a que su coseno cuadrado es $3/4$, pero el coseno tiene en sí misma una señal equivocada, por lo que su cuadrado es creado problemas. La cuadratura era innecesario, como se ha señalado por lhf mientras escribía esta frase, pero si usted todavía desea cuadrados, usted tiene que comprobar todas las soluciones que funcionan y usted encontrará que el $\pm 5\pi/6$ soluciones no.

Answer 4

Cuando se ha cancelado la $\sin \theta$ factores, perdió algunas soluciones. Esto es similar a la de comenzar con $x^2 = x$, la cancelación de una $x$ y concluyendo que el $x=1$; de lo obvio, $x=0$ solución que se ha perdido. El remedio para esto es el factor de cambio. En el ejemplo que he proporcionado, que equivaldría a escribir $x^2 - x = 0$, entonces la factorización para obtener $x(x-1)=0$, a continuación, configuración de cada factor igual a cero, como de costumbre.

También ganó soluciones al cuadrado. Esto es similar a la de comenzar con $x=1$, entonces el cuadrado para obtener $x^2 = 1$, lo $x= \pm 1$. Observe que en el problema, el cuadrado era superfluo dado un par de pasos más adelante que usted tomó una raíz cuadrada que "deshecho" que el cuadrado de todos modos.