Esto es sólo una curiosidad. He llegado a través de múltiples pruebas de que el hecho de que existen infinitos números primos, algunos de ellos eran bastante trivial, pero algunos otros fueron realmente, realmente de lujo. Te voy a mostrar lo que las pruebas que tengo y me gustaría saber más porque creo que es bueno ver que algo que puede ser probado de muchas maneras diferentes.
Prueba 1 : de Euclides. Si hay un número finito de números primos, a continuación, $p_1 p_2 ... p_n + 1$ es coprime a todos estos chicos. Esta es la idea básica en la mayoría de las pruebas : generar un número coprime a todos los anteriores números primos.
Prueba 2 : Considere la secuencia de $a_n = 2^{2^n} + 1$. Tenemos que $$ 2^{2^n}-1 = (2^{2^1} - 1) \prod_{m=1}^{n-1} (2^{2^m}+1), $$ de modo que para $m < n$, $(2^{2^m} + 1, 2^{2^n} + 1) \, | \, (2^{2^n}-1, 2^{2^n} +1) = 1$. Ya tenemos una secuencia infinita de números coprime en pares, al menos un número primo debe dividir cada uno de ellos y todos ellos son diferentes de los números primos, dando así una infinidad de ellos.
Prueba 3 : (Nota : particularmente me gusta este.) Definir una topología en $\mathbb Z$, de la siguiente manera : un conjunto $\mathscr N$ de los enteros se dice abierto si para cada a $n \in \mathscr N$ no es una progresión aritmética $\mathscr A$ tal que $n \in \mathscr A \subseteq \mathscr N$. Esto puede ser fácilmente comprobado para definir una topología en $\mathbb Z$. Tenga en cuenta que bajo esta topología progresiones aritméticas son abiertas y cerradas. Suponiendo que hay un número finito de números primos, aviso que esto significa que el conjunto de $$ \mathscr U \,\,\,\, \desbordado{def}{=} \,\,\, \bigcup_{p} \,\, p \mathbb Z $$ debe ser abierto y cerrado, pero por el teorema fundamental de la aritmética, su complemento en $\mathbb Z$ es el conjunto $\{ -1, 1 \}$, que no está abierta, dando así una contradicción.
Prueba 4 : Deje $a,b$ ser coprime enteros y $c > 0$. Existe $x$ tal que $(a+bx, c) = 1$. Para ver esto, elija $x$ tal que $a+bx \not\equiv 0 \, \mathrm{mod}$ $p_i$ para todos los números primos $p_i$ dividiendo $c$. Si $a \equiv 0 \, \mathrm{mod}$ $p_i$, desde $a$ $b$ son coprime, $b$ tiene una inversa mod $p_i$, se $\overline{b}$. La elección de $x \equiv \overline{b} \, \mathrm{mod}$ $p_i$, está hecho. Si $a \not\equiv 0 \, \mathrm{mod}$ $p_i$, a continuación, la elección de $x \equiv 0 \, \mathrm{mod}$ $p_i$ funciona bien. Encontrar $x$ utilizando el Teorema del Resto Chino.
Ahora, asumiendo que hay un número finito de números primos, vamos a $c$ ser el producto de todos ellos. Nuestra construcción genera un entero coprime a $c$, dando una contradicción con el teorema fundamental de la aritmética.
Prueba 5 : del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas (sólo para que usted no se traen a colación como ejemplo...)
¿Tienes alguna otra agradable pruebas?
