¿Por qué isn ' t la integral de camino riguroso?

Question

Recientemente he estado leyendo Ruta Integrales y Procesos Cuánticos por Mark Swanson; es una excelente y didáctica introducción a la Ruta Integral de la formulación. Él se deriva la ruta integral y demuestra que es: $$\int_{q_a}^{q_b} \mathcal{D}p\mathcal{D}q\exp\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b} \mathcal{L}(p, q)\}$$

Esto es claro para mí. Luego compara a un discreto suma $$\sum_\limits{\text{paths}}\exp\left(\frac{iS}{\hbar}\right)$$ where $S$ es la acción funcional de un camino particular.

Ahora, aquí es donde me confundo. Él afirma que, debido a que algunos de estos caminos son discontinuos o no diferenciable y que estas "naciones unidas-matemático"¹ rutas de acceso no puede ser tenido en cuenta, la suma no es matemáticamente riguroso, y, por tanto, que la transición de amplitud descrito por el camino de la integral no es riguroso. Por favor me corrija si estoy incorrecto aquí.

Además, afirma que esto puede ser aliviado mediante el desarrollo de una medida adecuada. Hay dos cosas que no entiendo sobre esto. En primer lugar, ¿por qué no el integral riguroso? A pesar de que algunos de los caminos que podría ser difícil de manejar matemáticamente, no se menciona explícitamente en la integral. Por qué no es la respuesta que escupe un riguroso? Y, en segundo lugar, ¿por qué una medida de solucionar este problema?

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¹ Nota: este no es el término que él utiliza

Answer 1

Hay varios puntos:

• La primera es que de costumbre auto-adjunto Hamiltonianos de la forma $H=-\Delta +V(x)$, con un común densamente definido de dominio (y estoy siendo muy pedante aquí matemáticamente, usted puede simplemente ignorar ese comentario) el límite de proceso está bien definido y se le da un significado a la expresión formal

  $\int_{q_a}^{q_b} \mathcal{D}p\mathcal{D}q\exp\{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b} \mathcal{L}(p, q)\}$

  por medio de trotter fórmula de producto y el correspondiente límite de cantidades discretas. Por lo que el objeto tiene la mayoría del tiempo el significado, mientras nosotros lo vemos como un límite. Sin embargo, sería conveniente dar de una manera más directa la interpretación matemática como un verdadero integral en los caminos. Esto permitiría a las generalizaciones y la flexibilidad en su utilización.

• Resulta que una adecuada noción de medida en el espacio de las rutas puede ser dada, mediante procesos estocásticos tales como el movimiento browniano (hay toda una rama de la teoría de la probabilidad que se ocupa de tales estocástico de integración, se llama integral de Itô). Para relacionar este concepto con nuestra situación actual no es, sin embargo, una modificación necesaria para hacer: el factor de $-it$ en el quantum de la evolución tiene que ser sustituido por $-\tau$ (es decir, es necesario pasar a "tiempo imaginario"). Esto permite a la correcta gaussiano factores que vienen ahora de la parte libre de la Hamiltoniana, y a reconocer la correcta medida de Wiener en el espacio de las rutas. En un punto de vista matemático, la rotación de vuelta a tiempo real es posible sólo en algunas situaciones especiales, sin embargo, este procedimiento da una forma satisfactoria para definir matemáticamente euclidiana tiempo de la ruta de las integrales de la mecánica cuántica y la teoría de campo (al menos el gratis, y también en algunos de interacción caso). Hay trabajos recientes de muy renombrados matemáticos en este contexto, más concretamente el trabajo de la medalla fields Martin Hairer (véase e.g este papel y este, o el reciente trabajo de A. Jaffe que da una visión interesante; un mayor acercamiento físico está dado por Lorinczi, Gubinelli y Hiroshima, entre otros).

• La precisa formulación matemática de la ruta integral en QM se llama Feynman-Kac fórmula, y la indicación precisa es la siguiente:

  Deje $V$ ser un valor real de la función en $L^2(\mathbb{R}^3)+L^\infty(\mathbb{R}^3)$, $H=H_0+V$ donde $H_0=-\Delta$ (Laplaciano). Entonces para cualquier $f\in L^2(\mathbb{R}^3)$, para cualquier $t\geq 0$: $$(e^{-tH}f)(x)=\int_\Omega f(\omega(t))e^{-\int_0^t V(\omega(s))ds}d\mu_x(\omega)\; ;$$ donde $\Omega$ es el conjunto de rutas (con la adecuada extremos, no quiero dar una definición rigurosa), y $\mu_x$ es la correspondiente medida de Wiener w.r.t. $x\in\mathbb{R}^3$.

Answer 2

...Que él se deriva la ruta integral y demuestra que es: $$\int_{q_a}^{q_b}\mathcal{D}p\mathcal{D}p\exp\{\frac{i}{\manejadores}\int_{t_a}^{t_b} \mathcal{L}(p, q)\}$$

Esto es claro para mí. Luego compara a un discreto suma $$\sum_\limits{\text{paths}}\exp\left(\frac{iS}{\hbar}\right)$$ donde $S$ es la acción funcional de un camino particular.

Ahora, aquí es donde me confundo.

En este punto creo que va a ser útil para hacer una analogía con una ordinaria Reimann integral (que da el área bajo una curva).

El área bajo la curva f(x) desde x="a" x="b" es aproximadamente proporcional a la suma $$ Un\sim\sum_i f(x_i)\;, $$ donde el $x_i$ son elegidos para ser separados de la a a la b, por ejemplo, en los intervalos de la "h". El mayor número de $x_i$ elegimos la mejor aproximación que tenemos. Sin embargo, tenemos que introducir una "medida" para hacer la suma convergen con sensatez. En el caso de la Reimann integral que esta medida es sólo "h" en sí mismo. $$ A=\lim_{h\to 0}h\sum_i f(x_i)\;, $$

En la analogía, en la ruta integral de la teoría de la mecánica cuántica, tenemos el núcleo de "K" para ir de "a" hacia "b", siendo proporcional a la suma de las rutas $$ K\sim\sum_\límites{\text{caminos}}\exp\left(\frac{es{\tt path}}{\manejadores}\right) $$

También en este caso, no tiene sentido considerar la suma solos, ya que no tiene un límite sensible a medida que más y más rutas se añaden. Necesitamos introducir algunas medidas para hacer que la suma de acercarse a un límite sensible. Hicimos esto para el Reimann integral simplemente multiplicando por "h". Pero no hay tal proceso simple en general para la ruta integral que implica un bien de orden superior de la infinidad de número de rutas que lidiar con...

Para citar a Feynman y Hibbs: "Por desgracia, para definir un normalizating factor parece ser un problema muy difícil y no sabemos cómo hacerlo, en términos generales." --Path Integrals y la Mecánica Cuántica, p. 33

En el caso de una partícula libre en una dimensión de Feynman y Hibbs muestran que la normalización es el factor de $$ {({\frac{m}{2\pi i\manejadores\epsilon}})}^{N/2};\, $$ donde hay N pasos de tamaño $\epsilon$$t_a$$t_b$, y N-1 integraciones sobre los puntos intermedios entre los $x_a$$x_b$.

De nuevo, citando de Feynman y Hibbs con respecto a estas medidas de normalización: "...no sabemos cómo dar la definición de todas las situaciones que hasta el momento parecen tener valor práctico."

Así, que debería hacer que se sienta mejor...