Desigualdad de Minkowski-como para el rastro del exteriores productos de vectores aleatorios

Question

Me pregunto si la siguiente desigualdad es correcto y puede ser demostrado?

Deje $A$ $B$ aleatorios vectores de dimensión $n$. A continuación, para $p \ge 1$ $$\begin{align} E^{\frac{1}{2p}} \left[ \left| Tr \left\{(A-B)(A-B)^T \right\} \right|^p \right] \le E^{\frac{1}{2p}} \left[\left| Tr \left\{AA^T \right\} \right|^{p} \right]+ E^{\frac{1}{2p}} \left[\left| Tr \left\{BB^T \right\} \right|^{p}\right] \end{align}$$

Para $n=1$ la desigualdad se convierte en

$$\begin{align} E^{\frac{1}{2p}} \left[ |A-B|^{2p} \right] \le E^{\frac{1}{2p}} \left[|A|^{2p}\right]+ E^{\frac{1}{2p}} \left[ |B|^{2p}\right] \end{align}$$ que simplemente se sigue de la desigualdad de Minkowski.

Cómo se podría empezar a probar una desigualdad como este? Si usted puede también me apunte a alguna similar resultado será genial. La única relacionada con la discusión sobre este citar que he encontrado es aquí

Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias

Answer 1

Así que tenemos una cierta probabilidad de espacio $\{\Omega,\mathbb{P}\}$, y el vector de valores de variables aleatorias: $A,B:\Omega\to\mathbb{R}^n$. En general, para todos los $x\in\mathbb{R}^n$,

$$\hbox{Tr}(xx^T)=\langle x,x\rangle = ||x||^2$$ donde $\langle,\cdot,\rangle, ||\cdot||$ denotar la Euclidiano interior-producto y la norma Euclídea, respectivamente. Así que podemos escribir:

$$\begin{align} E^{\frac{1}{2p}}\left(\left |\hbox{Tr}\{(A-B)(A-B)^T\}\right|^p\right)&=\left(\int_{\Omega}||A(\omega)-B(\omega)||^{2p}\,d\mathbb{P}(\omega)\right)^{\frac{1}{2p}}\\ &\leq^{(1)} \left(\int_{\Omega}(||A(\omega)||+||B(\omega)||)^{2p}\,d\mathbb{P}(\omega)\right)^{\frac{1}{2p}}\\ &\leq^{(2)} \left(\int_{\Omega}||A(\omega)||^{2p}\,d\mathbb{P}(\omega)\right)^{\frac{1}{2p}}+\left(\int_{\Omega}||B(\omega)||^{2p}\,d\mathbb{P}(\omega)\right)^{\frac{1}{2p}}\\ &=E^{\frac{1}{2p}}\left|\hbox{Tr}(AA^T)\right|^p+E^{\frac{1}{2p}}\left|\hbox{Tr}(BB^T)\right|^p \end{align}$$

La desigualdad (1) se sigue de la desigualdad de triángulo de la norma Euclídea.

La desigualdad (2) se sigue de la desigualdad de triángulo (la desigualdad de Minkowski) para el espacio de Banach $L^{2p}(\Omega,\mathbb{P})$, para las funciones de la $f(\omega)=||A(\omega)||$$g(\omega)=||B(\omega)||$.

Tenga en cuenta que todo no es negativo, por lo que los valores absolutos en la última fila son redundantes.