Límite simple de una secuencia

Question

Necesidad de resolver este límite muy simple $$ \lim _{x\to \infty \:}\left(\sqrt[3]{3x^2+4x+1}-\sqrt[3]{3x^2+9x+2}\right) $$

Sé cómo resolver estos límites: utilizando $a−b= \frac{a^3−b^3}{a^2+ab+b^2}$ . El problema es que la forma estándar (no utilizando la regla de L'Hospital) para resolver este límite - muy tedioso, aburrido y agotador. Espero que haya alguna solución ingeniosa y elegante. Gracias.

Answer 1

$$\lim _{ x\to \infty \: } \left( \sqrt [ 3 ]{ 3x^{ 2 }+4x+1 } -\sqrt [ 3 ]{ 3x^{ 2 }+9x+2 } \right) =$$ $\lim _{ x\to \infty \: } \frac { \left( \sqrt [ 3 ]{ 3x^{ 2 }+4x+1 } -\sqrt [ 3 ]{ 3x^{ 2 }+9x+2 } \right) \left( \sqrt [ 3 ]{ { \left( 3x^{ 2 }+4x+1 \right) }^{ 2 } } +\sqrt [ 3 ]{ \left( 3x^{ 2 }+4x+1 \right) \left( 3x^{ 2 }+9x+2 \right) } +\sqrt [ 3 ]{ { \left( 3x^{ 2 }+9x+2 \right) }^{ 2 } } \right) }{ \left( \sqrt [ 3 ]{ { \left( 3x^{ 2 }+4x+1 \right) }^{ 2 } } +\sqrt [ 3 ]{ \left( 3x^{ 2 }+4x+1 \right) \left( 3x^{ 2 }+9x+2 \right) } +\sqrt [ 3 ]{ { \left( 3x^{ 2 }+9x+2 \right) }^{ 2 } } \right) } =$$$ \ = \lim _{ x \to \infty : } \frac { 3x^{ 2 }+4x+1-3x^{ 2 }-9x-2 }{ \left ( \sqrt [ 3 ]{ { \left ( 3x^{ 2 }+4x+1 \right ) }^{ 2 } } + \sqrt [ 3 ]{ \left ( 3x^{ 2 }+4x+1 \right ) \left ( 3x^{ 2 }+9x+2 \right ) } + \sqrt [ 3 ]{ { \left ( 3x^{ 2 }+9x+2 \right ) }^{ 2 } } \right ) } = \lim _{ x \rightarrow \infty }{ \frac { -5x-1 }{ \left ( \sqrt [ 3 ]{ { \left ( 3x^{ 2 }+4x+1 \right ) }^{ 2 } } + \sqrt [ 3 ]{ \left ( 3x^{ 2 }+4x+1 \right ) \left ( 3x^{ 2 }+9x+2 \right ) } + \sqrt [ 3 ]{ { \left ( 3x^{ 2 }+9x+2 \right ) }^{ 2 } } \right ) } } $$ now ,the power of denominator of polynomial is higher than the numerator so the limit is equal to $ 0$

Answer 2

Usted tiene $$f(x)=\sqrt[3]{3x^2+4x+1}-\sqrt[3]{3x^2+9x+2}=\sqrt[3]{3x^2}\left(\sqrt[3]{1+\frac{4}{3x}+\frac{1}{3x^2}}-\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{3x^2}}\right)$$ Utilizando la expansión de Taylor en el orden uno de las raíces cúbicas $\sqrt[3]{1+y}=1+\frac{y}{3}+o(y)$ en la vecindad de $0$ lo consigues: $$f(x)=\sqrt[3]{3x^2}\left(\frac{4}{9x}-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$ por lo que $$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=0$$

Answer 3

Puedes utilizar el teorema del binomio para ampliarlo.

$$\lim _{x\to \infty \:}\left(\sqrt[3]{3x^2+4x+1}-\sqrt[3]{3x^2+9x+2}\right)$$

Aquí 1 y 2 son los términos más pequeños y pueden ser ignorados.

\begin {align} & \lim _{x \to \infty \:} \left ( \sqrt [3]{3x^2+4x+1}- \sqrt [3]{3x^2+9x+2} \right ) \\ =& \lim _{x \to \infty \:} \left ( \sqrt [3]{3x^2+4x}- \sqrt [3]{3x^2+9x} \right ) \\ =& \lim _{x \to \infty \:} \left ( \sqrt [3]{3x^2 \left (1+ \frac {4}{3x} \right )}- \sqrt [3]{3x^2 \left (1+ \frac3x\right )} \right ) \\ =& \lim _{x \to \infty \:} \sqrt [3]{3x^2} \left ( \sqrt [3]{1+ \frac {4}{3x}}- \sqrt [3]{1+ \frac3x } \right ) \\ =& \lim _{x \to \infty \:} \sqrt [3]{3x^2} \left ({1+ \frac {4}{9x}}-{1- \frac1x } \right ) \\ =& \lim _{x \to \infty \:} \sqrt [3]{3x^2} \left ({ \frac {4-9}{9x}} \right ) \\ =& \lim _{x \to \infty \:} \sqrt [3]{3}x^{2/3} \left ({ \frac {-5}{9x}} \right ) \\ =& \lim _{x \to \infty \:} \sqrt [3]{3}x^{-1/3} \left ({ \frac {-5}{9}} \right ) \\ =& \,0 \end {align}

Answer 4

¿Puede ayudar con los símbolos O? ¿Está todo bien aquí? $$f(x) = \sqrt[3]{3x^2}\left(1 + \frac{4}{9x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) - 1 - \frac{1}{x} -O \left(\frac{1}{x^2}\right)\right)= \sqrt[3]{3x^2} \left(\frac{-5}{9x} + \frac{1}{18x^2} \right). $$

Por lo tanto, $$\lim _{x\to \infty }\sqrt[3]{3x^2} \left(\frac{-5}{9x} + \frac{1}{18x^2} \right)= \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{3}{x^{-1/3}}^{\to 0} \left( - \frac{5}{9}+\frac{1}{18x}^{\to 0} \right) = 0.$$

Answer 5

En realidad, esta pregunta puede resolverse sin cálculos si estás familiarizado con la potencia.

Si el primer término (en la raíz cuadrada), el mayor término es $3x^2$ y también el segundo término. Y cualquier término que tenga una potencia inferior a 2 es despreciable. Así que puedes olvidarlos y obtener tus respuestas, que son $0$ .