Operación binaria conmutativa, asociativa y distributiva en la multiplicación

Question

Es allí cualquier operación binaria que es conmutativa, asociativa y distributiva sobre la multiplicación?

Hice esta pregunta en mi cabeza hace un tiempo, y he publicado en varios foros. Sin embargo, al no haber encontrado una respuesta, una vez más ha despertado mi interés. Yo no estoy buscando cualquier trivial funciones, y cualquier conjunto de base el trabajo para mí ($\Bbb{Z}$, $\Bbb{Q}$, o $\Bbb{R}$), en tanto que contenga los números enteros.

*EDIT* OK, la operación no tiene que ser conmutativa, pero tiene que ser de derecha e izquierda distributiva sobre la multiplicación. (No tanto a la izquierda y a la derecha la distributividad implica conmutatividad?)

*EDICIÓN 2* estoy buscando un binario función que se asigna a dos enteros a otro número entero, o dos enteros positivos a otro entero positivo. Sólo me di cuenta de esto después de la primera respuesta fue publicado, así que pido disculpas.

Answer 1

La mejor manera de hacer esto si restringimos nuestra atención a los números enteros positivos es tomar algo similar a Zander respuesta... pero el trabajo con el primer poderes. Debe ser capaz de ser extendida a los racionales positivos, si tienes cuidado.

Esto funciona así: si usted tiene dos enteros de la forma $$ a = \prod_{i=1}^n p_i^{k_i} $$ y $$ b = \prod_{i=1}^n p_i^{m_i} $$ donde $n$ es simplemente el índice de la más alta primer presentes en el par de enteros (es decir, es un número arbitrario para la representación de los números primos en cuestión), a continuación, definimos nuestra operación como $$ un\circ b = \prod_{i=1}^n p_i^{k_i\times m_i} $$ Con esta operación, hemos conmutatividad (obvio). Hemos asociatividad: $$ (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c) = \prod_{i=1}^n p_i^{k_i\times m_i\times l_i} $$ Tenemos la distributividad: $$ un\circ (b\veces c) = \prod_{i=1}^n p_i^{k_i\times (m_i+l_i)} = \prod_{i=1}^n p_i^{k_i\times m_i}\times \prod_{i=1}^n p_i^{k_i\times l_i} $$ (y lo mismo para el derecho-distributividad).

Curiosamente, esta operación mapas de cualquier par de coprime enteros a uno, y más generalmente el resultado de esta operación en cualquier par de enteros producirá un número entero de tener solamente el primer factores presentes en el original enteros. Algunos ejemplos específicos...

$$ p^m \circ p^n = p^{mn}\\ 100\circ 750 = 62500\\ 224\circ 147 = 49 $$

Answer 2

Quieres un emparejamiento $\phi: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ que es distributiva sobre la multiplicación conmutativa y asociativa.

Deje que me ignore las señales de ahora (en cualquier tipo de mapa puede tener los signos recortados y mapa de números enteros no negativos).

Es posible que $\phi$ es de "cero en un primer $p$"$\phi(p,1) = 0$, lo que implica que cualquier expresión que implique un factor de $p$ es cero.

Aparte de esto, y aún no teniendo en cuenta la asociatividad (es decir, sólo la distributividad y conmutatividad), $\phi$ está determinado por $\phi(p,q)$ para los números primos $p$$q$, y estos son sin restricciones (es decir, cualquier valor en $\mathbb{Z}$) excepto por $\phi(p,q) = \phi(q,p)$ si queremos conmutatividad.

La asociatividad se agrega la condición de $\phi(\phi(p,q),r) = \phi(p,\phi(q,r))$. Esto es bastante restrictivo en comparación con el anterior, pero todavía hay muchos mapas de la satisfacción de este.

Por ejemplo, tome $\phi(p,q) = 2$ todos los $p$$q$. Esto funciona.

¿Qué significa esto para dar por $\phi$? Definir $f(n)$ a la suma de los exponentes en la descomposición en factores primos de a $n$.

A continuación,$\phi(m,n) = 2^{f(n)f(m)}$. Esto satisface todas sus condiciones. (Dejar ser cero si $m$ o $n$ es cero, y de ignorar los factores de $-1$.)

Por supuesto, esto tiene una variante para cualquier otro prime en lugar de $2$. Es también una muy idea similar a la parcial ejemplo más de los reales. (Que ejemplo pueden ser fijados por ignorar las señales en la entrada y dar a cero como el resultado si la entrada es cero.)

Hay muchos otros. Por ejemplo, para conseguir algo un poco más complicado, la partición de los números primos en dos conjuntos, uno que contenga $2$ y uno que contenga $3$. Deje $\phi(p,q)$$2$, si bien en el primer set, y $3$ si ambos están en el segundo. (También hay una variante: $2$ si ambos en la primera, $3$ si ambos en la segunda, $0$ si uno de cada uno).

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También podemos considerar el mapa, en lugar de emparejamiento, de la versión:

$\phi: (\mathbb{Z},\cdot) \rightarrow \mathrm{End}(\mathbb{Z},\cdot)$

La condición de $\phi(a)(b\cdot c) = \phi(a)(b) \cdot \phi(a)(c)$ es la declaración de que $\phi(a)$$\mathrm{End}(\mathbb{Z},\cdot)$.

A continuación, $\phi(a\cdot b)(c) = \phi(a)(c) \cdot \phi(b)(c)$ es la declaración de que $\phi$ es una de morfismos de monoids de$(\mathbb{Z},\cdot)$$\mathrm{End}(\mathbb{Z},\cdot)$. (Si $f$ $g$ dejamos $(f \cdot g)(c) = f(c) \cdot g(c)$. Si $f$ $g$ son endomorphisms de $(\mathbb{Z},\cdot)$, por lo que es $f\cdot g$.)

Los enteros positivos con la multiplicación son gratis, unital monoid generados por los números primos. (Signos y cero encajar en esta imagen).

Esta es sólo la distributividad parte de la historia, pero es una buena manera de pensar.

Answer 3

Sea $ a\circ b = un ^ {\log b} $ y $$ a\circ b = un ^ {\log b} = \exp (\log a\log b) = b ^ {\log un} = b\circ a\\ (a\circ b) \circ c = (un ^ {\log b}) ^ {\log c} = \exp (\log a\log b\log c) = a\circ (b\circ c) \\ a\circ (b\times c) = un ^ {\log b + \log c} = a\circ b \times a\circ c \\ (a\times b) \circ c = un ^ {\log c} \times b ^ {\log c} = \times c a\circ b\circ c $$

Answer 4

$a\circ b=ab\pmod 2\ \forall a,b\in \mathbb{N}$

Commutativity

$a\circ b=ab\pmod 2=ba\pmod 2=b\circ a$

Associavity

$a\circ (b\circ c)=(a\cdot (bc\pmod 2))\pmod 2=((ab\pmod 2)\cdot c)\pmod2=(a\circ b)\circ c$

Distributividad

1. $a\circ (b\circ c)=(a\cdot (bc\pmod 2))\pmod 2=((ab\pmod 2)\cdot (ac\pmod 2))\pmod 2=(a\circ b)\circ(a\circ c)$

2. $(a\circ b)\circ c=((ab\pmod 2)\cdot c)\pmod2=((ac\pmod 2)\cdot (bc\pmod 2))\pmod 2=(a\circ c)\circ(b\circ c)$