Si dos conjuntos tienen una densidad natural (asintótica), ¿su unión?

Question

Dejemos que $\Omega=\mathbb{N}$ . Para cada $E\subset\Omega$ dejar $N_n(E)$ sea la cardinalidad del conjunto $E\cap \{1,2,\ldots,n\}$ . Definir $C=\left\{E: \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{N_n(E)}{n} \text{ exists}\right\}$ . Demostrar que $C$ no es un campo.

Ya sé que no se cierra a la unión finita de conjuntos no disjuntos pero no veo por qué. Vi un post en el que alguien decía que "el conjunto de números naturales cuyo primer dígito es 1 no tiene este límite".

Me cuesta ver por qué este límite no existiría en uniones finitas.

Gracias de antemano.

Answer 1

Demostramos que el intersección de dos conjuntos que tienen "densidad natural" no tiene necesariamente densidad natural. Entonces la unión se puede tratar tomando complementos. Se trata básicamente de un ejemplo que involucra expansiones decimales, aunque por suavidad usamos base $4$ .

Dejemos que $A$ sea el conjunto de enteros pares. La densidad natural existe y es igual a $1/2$ .

Dejemos que $B=B_0 \cup B_1$ , donde $B_0$ es el conjunto de todos los incluso números en intervalos de la forma $[2^{2m}, 2^{2m+1}]$ y $B_1$ es el conjunto de todos los impar números en intervalos de la forma $[2^{2m+1},2^{2m+2}]$ . De nuevo, $B$ tiene una densidad natural $1/2$ .

Ahora mira $A\cap B=E$ . Estos son todos los números pares en intervalos de la forma $[2^{2m},2^{2m+1}]$ . Hay una fluctuación muy considerable en $\frac{N_n(E)}{n}$ . Para grandes $m$ , si $n$ tiene forma $2^{2m+1}$ entonces $\frac{N_n(E)}{n}$ está muy cerca de $1/3$ , mientras que si $n$ tiene la forma $2^{2m+2}$ entonces $\frac{N_n(E)}{n}$ está muy cerca de $1/6$ .

De forma algo menos bonita, podemos jugar al mismo juego con las representaciones decimales. El conjunto $A$ podrían ser todos los números que terminan en $0$ . Para $B$ entre $10^{2m}$ y $10^{2m+1}$ Utiliza los números que terminan en $0$ y entre $10^{2m+1}$ y $10^{2m+2}$ utilizar los números que terminan en $1$ . Cada uno de $A$ y $B$ tiene una densidad natural $1/10$ . Pero $A\cap B$ tiene enormes regiones relativamente gruesas, seguidas de enormes vacíos, y la densidad natural no existe.