Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado campo de la característica $\neq 2$ y considerar las afín variedades de $X_1 := V(x^2-y^3)$ (la cúspide) y $X_2 = V(y^2-x^2 (x+1))$ (el nodo). Me gustaría mostrar que $X_1$ $X_2$ no son isomorfos. Esto es fácil si uno sabe básicos de cohomology o singularidad de la teoría; pero este ejercicio aparece en la introducción del guión de AG donde sólo los fundamentos absolutos sobre afín variedades han sido establecidas. Por lo tanto, estoy en busca de un elemental de la prueba. Pero por supuesto que me gustaría evitar cualquier engorroso cálculo con polinomios (por favor, no publicar estos como una respuesta).
Aquí es lo que he hecho: Hay bijective morfismos $\mathbb{A}^1 \to X_1, t \mapsto (t^3,t^2)$$\mathbb{A}^1 \to X_2, t \mapsto (t^2-1,t(t^2-1))$. Inducen isomorphisms $\mathbb{A}^1 - \{0\} \cong X_1 - \{(0,0)\}$ (la inversa de la toma $(x,y) \mapsto x/y$) y $\mathbb{A}^1 - \{\pm 1\} \cong X_2 - \{(0,0)\}$ (la inversa de la toma $(x,y) \mapsto y/x$). Ahora cualquier isomorfismo $X_1 \cong X_2$ debe preservar el origen. La razón es que es el único punto singular (que puede ser formulada de la elementarily, ver aquí). Por lo tanto, se daría un isomorfismo $\mathbb{A}^1 - \{0\} \cong \mathbb{A}^1 - \{\pm 1\}$. En coordinar los anillos, este es un isomorfismo $k[t]_t \cong k[t]_{t^2-1}$ $k$- álgebras. Se induce un isomorfismo en los grupos de unidades de $k^* \cdot \langle t \rangle \cong k^* \cdot \langle t+1,t-1 \rangle$, conservando $k^*$, por lo tanto un isomorfismo de grupos de $\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, contradicción!
Espero que no es una más corta de la prueba? Como he dicho, yo sólo estoy buscando pruebas que son accesibles para los estudiantes que acaban de comenzar a aprender sobre afín variedades.
