Signo negativo que aparece en la integración

Question

Tengo que resolver la siguiente integral definida $$\int_{0}^{4}r^3 \sqrt{25-r^2}dr=3604/15$ $

He intentado un cambio de variables dadas por $u=\sqrt{25-r^2}$ entonces dónde que $dr=-u du/r$ y $r^2=25-u^2$. El cambio de coordenadas entonces dar el % integral #% $ #%

Sin embargo, ahora se evalúa a $$-\int_{3}^{5}(25-u^2)u du$ y me pregunto por qué tengo un negativo apareciendo si he hecho lo que parece la cosa correcta a hacer.

Answer 1

Tienes los límites superior de integración mezclados e inferior, deben ser cambiados.

Entonces el % de propiedad $\int^a_b f(x)dx=-\int^b_a f(x)dx$debe resolver el problema para usted.

Answer 2

Si haces $u=\sqrt{25-r^2}$, tienes $$ du =-\frac {r} {\sqrt {25-r ^ 2}} \,dr $$ % que $u\,du=-r\,dr$. Así que su cálculo es, hasta este punto. Siguiente, $r^2=25-u^2$y bueno todavía.

Sin embargo, da a $r=0$ $u=5$ y $r=4$ da $u=3$, por lo que la integral es de $$ \int_5^3 -u (25-u ^ 2) \,du $$

Answer 3

El límite inferior debe ser $5$ y la parte superior debe ser $3$. Les cambio introduce un signo menos, que el resultado positivo.

Answer 4

Ya has sido contestada sobre la confusión con los límites. Ahora puede probar la siguiente y no hacer una sustitución y así no cambiar los límites. Integrar por partes:

$$\begin{cases}u=r^2&u'=2r\\{}\\v'=r\sqrt{25-r^2}&v=-\frac13(25-r^2)^{3/2}\end{cases}\;\;\implies$$$${}$$

$$\int_0^4r^3\sqrt{25-r^2}\,dr=\left.-\frac{r^2}3(25-r^2)^{3/2}\right|_0^4+\frac13\int_0^2(2r\,dr)(25-r^2)^{3/2}=$$

$$=-\frac{16}3\cdot27-\left.\frac13\frac25(25-r^2)^{5/2}\right|_0^4=-\frac{27\cdot16}3-\frac2{15}\left(243-3125\right)=$$

$$=-\frac{432}3+\frac{5764}{15}=\frac{3604}{15}$$