' enfoque ' la masa de la función de densidad de probabilidad para un paseo aleatorio

Question

Considere la posibilidad de una caminata aleatoria sobre una superficie de dos dimensiones con la circular que refleja las condiciones de contorno (es decir, de radio 'R'). Aquí, para un tamaño fijo de la zona, se encuentra una mayor fracción de la densidad de probabilidad (por la posición de la walker) cerca del punto medio del círculo de cerca de su contorno.

Dado este ejemplo, mi pregunta es para un discreto/continuo caminata aleatoria en dos dimensiones (o más dimensiones) de espacio, ahora con arbitrarias que refleja las condiciones de contorno, cómo 'bien' se puede restringir/enfoque de la masa de la función de densidad de probabilidad para la zona más reducida posible relación con el total de área de superficie disponible para el caminante?

En otras palabras, cómo efectivamente se puede construir una 'trampa' (yo estoy usando este término de manera muy informal) para un walker, dado aleatoria de las condiciones iniciales?

(Yo, obviamente, la bienvenida a cualquier ayuda a esta pregunta de una manera más adecuada.)

Answer 1

No tengo ni idea sobre el caso continuo, que es presumiblemente sutil, pero la discreta caso tiene una respuesta fácil ('no muy bien'). En particular, si la caminata aleatoria es simple caminata aleatoria en un conjunto finito de vértices en el entero de celosía en R^{d} (posiblemente con muchos auto-bucles en el límite para simular la reflexión), la distribución estacionaria es proporcional al grado de cada vértice. En otras palabras, los puntos de distancia desde el límite realmente no sentir su presencia en todos.

Si usted tiene preguntas cuantitativas, lo suficientemente inteligente persona puede ser capaz de responder a ellos mediante, por ejemplo, Billingsley del libro sobre la convergencia y el hecho de que muchas de estas preguntas va a ser fácil en el caso finito.

Answer 2

Hmm, usted está pidiendo la concentración de calor núcleos. A lo largo de periodos de tiempo, estos núcleos están dominados por la baja energía de funciones propias, así que básicamente lo que uno necesita para la construcción de los dominios que se han concentrado de baja energía de funciones propias.

Generalmente uno espera en el hecho de que el calor núcleos más suave y se dispersan a lo largo del tiempo (parabólico regularidad). Por ejemplo, todos los L^p normas de calor kernels no son crecientes en el tiempo, así que va a ser más difícil y más difícil concentrarse en un pequeño dominio medida que pasa el tiempo. Hay una importante teoría sobre el control de calor núcleos (el uso de herramientas tales como la desigualdad de Poincaré, el principio del máximo, integración por partes, etc.) aunque no es mi campo, uno puede tener que pedir una parabólica de la PDE persona.

Answer 3

No estoy seguro de que una mayor fracción de la densidad de probabilidad se concentra cerca de la mitad de la superficie.

Consideremos un disco plano como el ejemplo más sencillo. Como pasa el tiempo, la densidad se acercará a la menor eigenfunction del Laplaciano en el disco, es decir, una constante correspondiente a la distribución uniforme. (Supongo que lo que quieres decir por un paseo aleatorio es el proceso de Wiener en el disco).

Otra forma de ver este efecto es considerar un cuadrado (o hipercubo en dimensiones superiores). A continuación, puede imitar la reflexión de los procesos en la frontera, reflejando la plaza wrt sus bordes y el suelo de baldosas del avión con estas reflejan las copias de la plaza. Si se considera el proceso de Wiener en tanto, `desplegado" avión, va a recuperar el proceso de Wiener con la reflexión después de doblar las fichas de nuevo a la original de la plaza. Dado que la distribución de la Wiener proceso Gaussiano con varianza igual a tiempo, para los grandes momentos de la distribución va a ser casi plana, lo que resulta en el uniforme de la limitación de la distribución.