¿Está generalmente aceptado que si lanzar un dardo en un número de la línea nunca se llegará a un número racional?

Question

En el libro "Cero: La Biografía de una Peligrosa Idea, el autor Charles Seife afirma que un dardo lanzado en la recta numérica real nunca golpeó a un número racional. Él no dice que lo único "raro" o que la probabilidad se aproxima a cero, o algo como eso. Él dice que nunca va a suceder porque el irrationals ocupan todo el espacio en el número de línea y los racionales no toman el espacio. Esta idea casi no tiene sentido para mí, pero no puedo envolver mi cabeza alrededor de por qué ha de ser imposible conseguir mucha suerte y éxito, dicen, 0, muertos. Presumiblemente, estamos hablando de una magia súper afilado dardo que hace contacto con el número de la línea en exactamente un punto. Por qué no podía punto de ser racional? Un punto que no ocupa espacio, pero casi suena como que está diciendo los puntos que ni siquiera existe alguna manera. ¿Nadie comprar este? He encontrado un artículo académico en línea que ridiculizó el comentario, pero no ofreció ninguna explicación. Aquí está la cita original:

"¿Qué tan grandes son los números racionales? Ocupan ningún espacio en absoluto. Es un concepto difícil de tragar, pero es la verdad. A pesar de que hay números racionales en todas partes sobre el número de línea, que ocupan ningún espacio en absoluto. Si vamos a lanzar un dardo en el número de línea, que nunca iba a golpear a un número racional. Nunca. Y a pesar de que los racionales son pequeños, la irrationals no, ya que no se puede hacer un diagrama de distribución de asientos y cubierta de ellos, uno por uno; siempre habrá descubierto irrationals a la izquierda. Kronecker odiaba la irrationals, pero que ocupan todo el espacio en el número de línea. El infinito de los racionales es nada más que un cero".

Answer 1

Tenga en cuenta que si al azar (es decir, de manera uniforme) elegir un número real en el intervalo de $[0,1]$, a continuación, para cada número hay una probabilidad cero de que usted va a recoger este número. Esto no significa que usted no coger cualquier número.

De manera similar con los racionales, mientras que el infinito, y la densa y todo eso, que son muy, muy escasa en el aspecto de la medida y probabilidad. Es perfectamente posible que si usted lanza countably muchos dardos en la línea real usted llegará exactamente todos los racionales y cada racional exactamente una vez. Este escenario es muy poco probable, porque los números racionales es un conjunto de medida cero.

La probabilidad se refiere a las "¿cuáles son las probabilidades de que eso ocurra?" a priori, no a posteriori. Así que estamos interesados en la medición de una determinada estructura de un juego, en los aspectos modernos de la probabilidad y la medida, los racionales tienen un tamaño cero, y esto significa probabilidad cero.

Los dejo con un poco de alimento para el pensamiento: si usted le pregunta a un arbitrario matemático para elegir cualquier número real del intervalo de $[0,10]$ hay una buena probabilidad de que elija un número entero, un poco peor probabilidad de que se de un racional, incluso más delgado probabilidad de que esto va a ser un algebraica de números, y menos probable aún es un trascendental número. En algunos aspectos esto está fuertemente en contra de la medida de la teoría de modelos de un uniforme de probabilidad en $[0,10]$, pero eso es sólo cómo es la vida.

Answer 2

Yo creo que el autor está exagerando un poco con el fin de transmitir la idea. Esto es más claramente observado con la frase "el infinito de los racionales es nada más que un cero", que ciertamente no es verdad cuando se toma literalmente. Lo que sucede, como Qiaochu dice, es que la medida de Lebesgue del conjunto de los números racionales es cero, porque es una contables conjunto, y que la probabilidad de obtener un número racional a la hora de recoger un número aleatorio en la recta real es, de hecho, cero. Sin embargo, eso no quiere decir que no es posible obtener un número racional; usted puede obtener "realmente afortunado" y elegir cualquiera de los infinitos números racionales. Sin embargo, es muy poco probable que, en un sentido específico que usted va a aprender de la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad.

Answer 3

Jajaja
La probabilidad de golpear a un número específico es 0, si es racional o no. Sin embargo, cuando tiramos el dardo, inevitablemente te golpeó a un número específico. Así golpear a este número específico no era imposible.

Answer 4

Una forma muy útil de pensar acerca de la probabilidad en términos de apuestas. Supongamos que alguien le ofrece un pago de 1 dólar si el suceso X que pasa, y 0 dólares si X no sucede. ¿Cuál es la mayor cantidad de dinero que estás dispuesto a pagar para jugar a este juego? Esa cantidad es la probabilidad de que X sucediendo. (Probablemente tengo que ser un poco más cuidadoso, pero este es más o menos la idea.)

Entonces, ¿qué significa decir que un evento tiene probabilidad cero? Esto no significa que no pueda ocurrir, sólo significa que usted no estaría dispuesto a jugar ese juego 1 por ciento, o de la décima parte de un centavo, o cualquier real distinto de cero cantidad de dinero.

Si desea leer más acerca de esta forma de pensar acerca de la probabilidad, puede buscar "libro holandés."

Answer 5

Es posible, pero que tomaría una cantidad infinita de tiempo para verificar que realmente golpear un número racional porque tienes que mantener "zoom" para siempre.