Estoy atascado en el ejercicio aparentemente fácil en el título; Traté de demostrarlo dos veces, pero eran defectuosos ambos argumentos (uno de los dos: uno puede obtener fácilmente una aplicación natural$Sub_\mathcal E(A)\to Sub_\mathcal E(f_*A)$, pero esto rara vez es una equivalencia). Un amigo mío me propuso un contraejemplo pero no puede recuperar su prueba ... alguna idea?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un buen candidato para un contraejemplos es una "sección global" functor $\Gamma={\cal E}(1,-):{\cal E}\to{\cal S}et$ ${\cal E}$ a los Conjuntos. Si ${\cal E}$ tiene todos los (pequeños) co-productos (por ejemplo, es un presheaf topos), a continuación, $\Gamma$ es la parte directa de un geométrica de morfismos.
Ahora considere el topos ${\cal G}$ de Gráficos (con bucles y múltiples los bordes permitido). A continuación, ${\cal G}(1,X)$ son sólo los lazos de la gráfica de $X$. Desde el subobjeto clasificador $\Omega$ tiene 3 diferentes bucles, el conjunto de $\Gamma(\Omega)$ $3$ elementos y no puede ser igual a $2$. También se $\Gamma(2)=2$ pero $2\not\cong\Omega$${\cal G}$.
