Probar esta desigualdad:$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

Question

Vamos$a$,$b$,$c$ números reales positivos tales que$abc=1$. Demostrar que$$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$ $

He intentado varios métodos. Sin embargo, no pudo resolverlo. Sería genial si alguien puede ayudar.

Answer 1

Por AM-GM

$$ \ Frac {b c} {\ sqrt {a}} \ frac {c a} {\ sqrt {b}} \ frac {a b} {\ sqrt {c}} \ ge \ frac {2 \ sqrt {bc}} {\ sqrt {a}} \ frac {\ sqrt {ca}} {\ sqrt {b}} \ frac {2 \ sqrt {ab}} {\ sqrt {c}} = \ frac2a \ frac2b \ frac2c $$

Para la última igualdad$abc=1$se utilizó%.

Entonces otra vez por AM-GM; ps

y otra vez por una desigualdad muy conocida$$\frac1a+\frac1b+\frac1c \ge \frac3{\sqrt[3]{abc}}=3$ $

Para la última igualdad$$\frac1a+\frac1b+\frac1c \ge \frac1{\sqrt{bc}}+\frac1{\sqrt{ca}}+\frac1{\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$se utilizó%. Combinar los dos últimos desigualdades para obtener el resultado deseado.

Answer 2

Ya tiene una prueba con AM-GM y Muirhead. Para una prueba de AM-GM pura, tenga en cuenta que$\frac12 \left(\frac{a}b+\frac{b}a\right) \geqslant 1$ y así sucesivamente, por lo que la mitad de la LHS se encarga de la$3$ en el lateral derecho.

Por lo demás, tenga en cuenta que puede resumir cíclicamente el (ponderada) AM-GM:$$\frac5{18} \left(\frac{a}b+\frac{a}c\right)+\frac2{18} \left(\frac{b}a+\frac{b}c\right)+\frac2{18} \left(\frac{c}a+\frac{c}b\right)\geqslant \frac{\sqrt[3]a}{\sqrt[6]{b c}}=\sqrt{a}$ $

Answer 3

Id est, tenemos que demostrar que$\sum\limits_{cyc}(a^2b+a^2c-a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{5}{6}}c^{\frac{5}{6}}-abc)\geq0$

el cual es AM-GM y Muirhead debido$(2,1,0)\succ\left(\frac{4}{3},\frac{5}{6},\frac{5}{6}\right)$

Su otro problema puede ser resuelto por el mismo camino.

Answer 4

El post original era mostrar que $$ \ frac {b c} {a} \ frac {c a} {b} \ frac {a b} {c} \ ge \ sqrt {a} \ sqrt {b} \ sqrt {C} 3. Observe que $$ \begin{align} \frac{a}{b}+\frac{c}{a}&\ge2\sqrt{\frac{c}{b}}=2c\sqrt{a},\\ \frac{b}{a}+\frac{c}{b}&\ge2\sqrt{\frac{c}{a}}=2c\sqrt{b},\\ \frac{c}{a}+\frac{c}{b}&\ge2\sqrt{\frac{c^2}{ab}}=2c\sqrt{c}. \end {align} y de manera similar \begin{align} &\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\ge2b\sqrt{a}, &\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\ge2b\sqrt{b}, &&\frac{c}{a}+\frac{b}{c}\ge2b\sqrt{c};\\ &\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\ge2a\sqrt{a}, &\frac{b}{c}+\frac{a}{b}\ge2a\sqrt{b}, &&\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\ge2a\sqrt{c}. \end {align} Por lo tanto, mediante la combinación de ellos, y utilizar el hecho de que$a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3$, tenemos \begin{align} 3\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right) &\ge 2(a+b+c)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\\ &\ge 6\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right). \end {align} Que es decir,$$\frac{1}{2}\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right)\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}.\tag{1}$ $ A continuación, también tenemos \begin{align} \frac{1}{2}\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right) &= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right) +\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\right]\\ &\ge \frac{1}{2}(2+2+2)\\ &=3.\tag{2} \end {align} de ahí que el resultado sigue combinando$(1)$ y$(2)$.