Demostrar que$\exists a<b$ st$f(a)=f(b)=0$ cuando$\int_0^1f(x)dx=\int_0^1xf(x)dx=0$

Question

La pregunta exacta es:

$f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ Es una función continua tal que$\int_0^1f(x)=\int_0^1xf(x)=0$. Demostrar que$\exists a,b \in [0,1], a<b$% tal que $f(a)=f(b)=0$.

Mediante el uso de teorema del valor medio de la integración, obtenemos algunos$a,b$ st$f(a)=f(b)=0$, pero ¿cómo podemos demostrar que$a\neq b$.

Answer 1

Estamos dado que el $\displaystyle \int^1_0 (ax+b)f(x) dx =0 .$ Supongamos $f$ no es idéntica a cero de lo contrario, el resultado es trivial. La condición de $\displaystyle \int^1_0 f(x) dx = 0 $ implica que hay al menos un signo-cambio de raíz, dicen en $ m$ (es decir, la función tiene diferentes signos después de pasar a través de $m$, o más formalmente, $f(m+\epsilon)f(m-\epsilon)< 0 $ para todos lo suficientemente pequeño $\epsilon>0.$) Supongamos que este es el único signo-cambio de raíz. A continuación, $ (x-m)f(x) $ no cambiar de signo y no de forma idéntica $0$, por lo $\int^1_0 (x-m) f(x) \neq 0 $, contradiciendo la primera declaración. Por lo tanto, hay por lo menos $2$ signo distinto-el cambio de las raíces.

Esta idea puede ser empleado en la demostración de la generalizada resultado: Si $ f\in C( [0,1], \mathbb{R} ) $ es tal que $ \displaystyle \int^1_0 x^k f(x) dx = 0 $ todos los $ k= 0, 1,2,\cdots, n-1 $ $f$ tiene al menos $n$ signo distinto-cambiar raíces en $[0,1].$