Determinante de una determinada matriz definida positiva estructurada en bloques

Question

AQUÍ ENCONTRARÁ LA VERSIÓN EDITADA DE ESTA PREGUNTA: Comportamiento asintótico del mínimo valor propio de una determinada matriz de Gram con independencia lineal TAMBIÉN PONDRÉ UNA RECOMPENSA POR LA VERSIÓN EDITADA. ¿Existe una cota inferior para el determinante o valor propio mínimo de lo siguiente $d$ por $d$ matriz en términos de $d$ ?

$$\Gamma=\left( {\begin{array}{cc} I & B \\ B^{*} & I \\ \end{array} } \right)$$ Donde $I$ es la matriz identidad y los módulos de las entradas de $B$ y las de su conjugado $B^{*}$ son todos iguales a $\frac{1}{\sqrt{d}}$ . También los bloques son todos $\frac{d}{2}$ por $\frac{d}{2}$ . Se trata de una matriz de Gram y además se supone que las filas y las columnas son linealmente independientes. Por lo tanto, sabemos que el límite inferior es mayor que cero, pero ¿podemos decir algo más?

Para simplificar podemos suponer que el campo de la matriz es real. Por lo tanto, las entradas de los bloques no diagonales ( $B$ y $B^{T}$ ) son $\pm\frac{1}{\sqrt{d}}$ .

Agradezco mucho cualquier aportación.

Answer 1

Utilizando uno de los fórmulas de determinantes de matrices en bloque encontramos que $$ \det(\Gamma) = \det(I - BB^*) $$ Por lo tanto, dejemos que $s_1,s_2,\dots,s_{d/2}$ denotan los valores singulares de $B$ en orden decreciente. Tenemos $$ \det(\Gamma) = \prod_{i=1}^{d/2} (1-s_i) $$ Ahora, observamos que $B$ es un $d/2$ por $d/2$ matriz cuyas entradas tienen magnitud $1/\sqrt{d}$ . Utilizando la norma de Frobenius, tenemos el límite superior $$ \sigma_1(B) \leq \sqrt{\sum_{i,j =1}^{d/2} |B_{ij}|^2} = \sqrt{d/4} = \frac{d}{2} $$ (Podríamos utilizar de forma similar cualquiera de los Schatten $p$ -o cualquier otra norma invariable unitariamente).

Así, tenemos $$ \det(\Gamma) = \prod_{i=1}^{d/2} (1-s_i) \geq \prod_{i=1}^{d/2} \left(1-\frac {\sqrt d}{2}\right) = \left(1-\frac {\sqrt d}{2}\right)^{d/2} $$

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De hecho, creo que obtenemos un límite similar (si no lo mismo ) utilizando el Teorema del círculo de Gershgorin .

Answer 2

Creo que el límite inferior de los valores propios es 0.

Los valores propios de $\Gamma=\left[\begin{array}{cc} I & B \\ B^{*} & I \end{array} \right]$ son $1\pm \sigma$ donde $\sigma$ es un valor singular de $B$ . Cada valor propio tiene una multiplicidad del correspondiente valor singular de $B$ . Los vectores propios son $\left(\begin{array}{c} u \\ \pm v \end{array}\right)$ donde $u$ es un vector singular izquierdo de $B$ y $v$ es el correspondiente vector singular derecho de $B$ .

$B$ es bastante limitado. En el caso real, $\hat{B}=\sqrt{d}B$ es una matriz cuyas entradas son todas $\pm 1$ . Los valores propios de dicha matriz pueden ser tan grandes como $\pm d/2$ . Queremos construir una familia de matrices cuyo menor valor propio sea estrictamente mayor que $-\sqrt{d}$ pero lo más cerca posible de ese valor.

Primero encontré un ejemplo con $d=16$ donde $\Gamma$ es semidefinido positivo. (Según mi experiencia, los experimentos computacionales con otros $d$ muestran que no es difícil de encontrar $\hat{B}$ con valores propios mínimos muy cercanos a $-\sqrt{d}$ .)

Si lo pones: $$\hat{B}=\left[\begin{array}{cccccccc} -1 & 1 & 1 & 1 &-1 &-1 & 1 & 1 \\ 1 &-1 & 1 & 1 &-1 &-1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 &-1 &-1 & 1 &-1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 &-1 &-1 &-1 & 1 &-1 & 1 \\ -1 &-1 & 1 &-1 &-1 &-1 &-1 & 1 \\ -1 &-1 &-1 & 1 &-1 &-1 &-1 &-1 \\ 1 & 1 & 1 &-1 &-1 &-1 & 1 &-1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &-1 &-1 & 1 \\ \end{array}\right]$$ y $B=\hat{B}/4$ entonces $\Gamma$ es semidefinido positivo. Este $\Gamma$ es una matriz de Gram. Se puede recuperar la base utilizando una factorización Cholesky $\Gamma=V^{*}V$ . El factor $V$ tiene una estructura especial, $V=\left[\begin{array}{cc} I & B \\ 0 & M \end{array} \right]$ donde $M$ es el factor Cholesky de $I-B^{*}B$ . Se garantiza la existencia de la raíz cuadrada, ya que ésta es semidefinida positiva.

También construí una familia de $B$ que hacen $\Gamma$ semidefinida positiva (y que puede modificarse para que tenga valores propios desvanecidos). Tomemos $n$ para ser cualquier múltiplo de 36. En la primera columna de $B$ , fijar todo $n/2$ entradas a $\frac{1}{\sqrt{n}}$ . En la segunda columna, establezca el primer $n/6$ entradas a $\frac{1}{\sqrt{n}}$ y el resto $n/3$ entradas a $-\frac{1}{\sqrt{n}}$ . En la tercera columna, establezca el primer $5n/36$ entradas a $\frac{1}{\sqrt{n}}$ El segundo $n/36$ entradas a $-\frac{1}{\sqrt{n}}$ El tercero $n/36$ entradas a $\frac{1}{\sqrt{n}}$ y el resto $11n/36$ entradas a $-\frac{1}{\sqrt{n}}$ . Rellene el resto de $B$ como quieras.

Si calculas la factorización de Cholesky, encontrarás las entradas (en $M$ ) debajo de las tres primeras columnas son: $$\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{2}}{6} & \frac{\sqrt{2}}{6} \\ 0 & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$ La última fila es significativa: significa que podemos encontrar una combinación lineal de las tres columnas columnas que son todas cero en estas entradas. Pegado con las columnas de $B$ arriba, significa significa que esto se encuentra en el lapso de la primera $n/2$ vectores de la base estándar. Nota: esto se puede alterar ligeramente para introducir un $\epsilon$ en la entrada inferior derecha; las entradas de $M$ se alteraría pero no las entradas de $B$ . Esto daría valores propios muy pequeños a $\Gamma$ .

Como una pequeña visión geométrica de lo que está pasando, $B$ es una matriz de productos productos internos. Su mayor valor singular mide el ángulo entre dos espacios: el tramo de las columnas de $\left[\begin{array}{c}I\\0\end{array}\right]$ and the span of the columns of $\left[\begin{array}{c}B\\M\end{array}\right]$ . Es decir $\sigma_{\max}=cos(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo entre los espacios. Las columnas de $B$ siempre se encuentran en el tramo de las columnas de $I$ . Podemos construir las entradas de $M$ (que es triangular superior) para que hagan $\left[\begin{array}{c}B\\M\end{array}\right]$ ortonormal, pero de modo que haya uno o más o más ceros en la diagonal. (Las columnas de $M$ son linealmente dependientes).

Preguntas

¿Hay otras limitaciones que se puedan poner $B$ ? Por ejemplo, si $\hat{B}$ es una matriz de Hadamard, entonces los valores propios de $\hat{B}$ son $\pm \sqrt{d/2}$ (cada uno con multiplicidad $d/4$ ). Los valores propios de $\Gamma$ sería $1\pm 1/\sqrt{2}$ .

EDITAR:

En tu tercer comentario, estás describiendo la construcción Sylvester de matrices Hadamard de orden $2^n$ ¿verdad? Si es así, ¿por qué no utilizar una matriz de Hadamard, y evitar preguntas como ésta sobre la delimitación del espectro? Si lo que te preocupa es construir matrices de Hadamard de un orden que no sea una potencia de 2, deberías saber que hay otras construcciones además de la de Sylvester. Dicho esto, la construcción de matrices de Hadamard de orden par es un problema de investigación abierto.

Lo que preguntas en tu primer comentario parece una pregunta de investigación mucho más abierta. ¿Podría publicar una nueva pregunta con más detalles sobre el problema que está tratando de resolver? Ayudaría a entender de dónde vienes y qué quieres hacer realmente.

Por ejemplo, ¿qué restricciones tiene para construir $B$ ? ¿O es $B$ simplemente te lo han dado desde otro lugar? Si no hay restricciones, ¿por qué no utilizar una matriz de Hadamard para construir $B$ ? ¿Por qué el $\pm 1$ ¿restricción de las entradas (o restricción del tamaño de la unidad en el caso complejo)? ¿Qué restricciones, si las hay, hay en la base que está generando la matriz de Gram?

¿Qué tamaño o rango de tamaños de $B$ ¿le interesa? ¿Te interesa también la asintótica? ¿Los utiliza para calcular o intenta responder a una pregunta analítica?

Más en general, ¿de dónde viene este problema?

EDIT2 : He editado mi respuesta anterior para corregir un error, y para añadir una familia infinita de ejemplos cuyos valores propios son 0 o pueden hacerse tan cercanos a 0 como se desee.