¿Por qué es $\frac{987654321}{123456789} = 8.0000000729?!$

Question

Hace muchos años, me di cuenta de que $987654321/123456789 = 8.0000000729\ldots$ .

Lo envié a Martin Gardner de Scientific American ¡¡y lo publicó en su columna!!

Mi vida ha ido cuesta abajo desde entonces:)

Mis preguntas son:

• ¿Por qué?

• Lo que sucede más allá del " $729$ "?

• Lo que ocurre en las bases que no son $10$ ?

Answer 1

En la base $n$ el numerador es $$p = n^{n-1} - \frac{n^{n-1}-1}{(n-1)^2}$$ y el denominador es $$q = \frac{n(n^{n-1}-1)}{(n-1)^2}-1.$$

Tenga en cuenta que $p = (n-2)q + n-1$ y para el cociente obtenemos

\begin{align} \frac{p}{q} &= n-2 + \frac{(n-1)^3}{n^n} \frac{1}{1 - \frac{n^2-n+1}{n^n}} \\ &= n-2 + \frac{(n-1)^3}{n^n} \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{n^2-n+1}{n^n}\right)^k. \end{align}

En efecto, para $n=10$ esto es

$$\frac{987654321}{123456789} = 8 + \frac{729}{10^{10}}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{91}{10^{10}}\right)^k $$

Answer 2

$$729=9^3$$ $$66339=9^3\cdot 91$$ $$6036849=9^3\cdot 91^2$$ $$...$$ $$987654321/123456789=8+9^3\cdot 10^{-10}\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(91\cdot 10^{-10})^n$$

Answer 3

Dejemos que $$S_n(a)=1 +2a+\ldots +na^{n-1}=\frac{na^{n+1}-(n+1)a^n+1}{(a-1)^2},$$ $$T_n(a)=a^{n-1}+2a^{n-2}+\ldots +n=a^{n-1}S_n(a^{-1}).$$

Entonces $$ \frac{S_n(a)}{T_n(a)}=\frac{na^{n+1}-(n+1)a^n+1}{a^{n+1}-(n+1)a+n}.$$ Para $a=10,n=9$ tenemos $$ \frac{S_n(a)}{T_n(a)}\approx\frac{8\cdot 10^{10}+1}{10^{10}}. $$

Answer 4

Sólo para añadir a las excelentes respuestas anteriores, algunos ejemplos:

${987654321\,/\,123456789}\approx 8.00000007290000066339$

${{87654321}_9\,/\,{12345678}_9}\approx {7.000000628000056238}_9$

${{7654321}_8\,/\,{1234567}_8}\approx {6.0000052700046137}_8$

${{654321}_7\,/\,{123456}_7}\approx {5.00004260036036}_7$

${{\mathrm{fedcba987654321}}_{16}\,/\,{\mathrm{123456789abcdef}}_{16}}\approx {\mathrm{e.0000000000000d2f00000000000c693f}}_{16}$

Answer 5

$98765432 / 12345679 = 8$ exactamente. Puedes ver cómo funciona el patrón multiplicando $12345679 * 8$ empezando por cualquiera de los extremos.

Esto explica por qué su fracción se aproxima a un número entero. Si crees que la $729$ es interesante (yo no), se puede explicar por algunas de las otras respuestas aquí.

Editar:

¿Qué podemos decir sobre el hecho de que $12345679 * 8 = 98765432$ ? Hace unos 20 años que conozco este "factótum", y recuerdo que se utilizaba para "demostrar" calculadoras (que a menudo tenían pantallas de 8 dígitos en aquella época).

Me he dado cuenta hace poco:

$$ \frac{1}{81} = \left(\frac{1}{9}\right)^2 = \left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^k}\right)^2 = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{k-1} \frac{1}{10^m} \frac{1}{10^{k-m}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k-1}{10^k} $$

En otras palabras, mientras $\frac{1}{9} = 0.1111111\ldots$ $$ \frac{1}{81} = 0.01 + 0.002 + 0.0003 + 0.0004 + 0.00005 \ldots $$

Es bastante fácil ver que esta suma infinita va a converger a algo que empieza $0.012345\ldots$ . Si sigues añadiendo, o trabajando $\frac{1}{81}$ por división, se obtiene $$ 0.012345679012345679012345679\ldots $$ Cuando se llega al punto de añadir $\frac{10}{10^{11}}$ En el caso de las sumas, se produce el primer acarreo, que lleva al 9 donde se podría esperar un 8. Después de eso, cada suma acarrea y la expansión decimal se repite cada 9 dígitos (no cada diez - porque la cantidad que llevamos sigue siendo cada vez mayor).

Ahora, $\frac{8}{81} = \frac{9}{81} - \frac{1}{81}$ o $$ \frac{8}{81} = 0.11111111\ldots - 0.012345679012345\ldots $$ Piensa en cada dígito "1" en $0.111\ldots$ como un "10" en la siguiente columna. Esto significa que podemos calcular $\frac{8}{81}$ como el "complemento a 10" de $\frac{1}{81}$ ya que estamos restando un dígito entre $1$ y $9$ de $10$ , para obtener otra cifra única que aparece en el mismo lugar. Así que $\frac{8}{81}$ comienza $0.098765\ldots$ . La única interrupción en el patrón es cuando se llega al dígito '0' - restando 0 de 10 se obtiene 10, o un '1' en el siguiente dígito de la izquierda, cambiando el 1 por un 2.

Así que $$ \frac{8}{81} = 0.098765432098765432098765\ldots $$

y por lo tanto $$ 0.0123456790123456790\ldots * 8 = 0.0987654320987654320\ldots $$ y claramente esto consigue que $$ 12345679 * 8 = 98765432 $$