La restricción de escalares y producto tensorial

Question

Todos los anillos voy a considerar será conmutativo con identidad.

Dado un homomorphism $f:R \to S$ nos puede dar una $S$-módulo de un $R$-módulo de la estructura a través de la restricción de escalares. En particular, $S$ puede ser considerado como una $R$-módulo con la acción $$r \circ s = f(r) \cdot s$$

Durante mucho tiempo he pensado que, como una $R$-módulo, $S \otimes_R S \simeq S$, ya que es el cociente de $S \otimes_S S$ por el ideal genreated por las relaciones de $(s_1 \circ r) \otimes s_2 = s_1 \otimes (r \circ s_2)$, o, equivalentemente,$f(r) \cdot s_1 \otimes s_2 = s_1 \otimes f(r) \cdot s_2$. Desde $S \otimes_S S \simeq S$ a través del mapa de $s_1 \otimes s_2 \mapsto s_1 s_2$ parecía el ideal que nos fueron quotienting fue trivial.

Pensando en esto, sin embargo, $\mathbb{C} \otimes_R \mathbb{C} \simeq \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$

Existen condiciones en $R,S$ que harían $S \otimes_R S \simeq S$ $R$- módulo? Por ejemplo, $\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \simeq \mathbb{Q}$ mantiene, así como la $\mathbb{Z}/p \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/p \simeq \mathbb{Z}/p$

Answer 1

Las generalizaciones de los dos ejemplos que diste son:

1. Si$R \to S$ es sobreyectiva.
2. Si$R \to T^{-1}R$ es una localización.

Estoy seguro de que son posibles otras condiciones. No sé de las condiciones generales de los cuales clasifican cuando este hace o no se sostiene.

Answer 2

Usted tiene una secuencia exacta$$ 0\longrightarrow \mathrm{image}(f)\longrightarrow S \longrightarrow S/\mathrm{image}(f) \longrightarrow 0$ $ which gives an exact sequence $ $ \mathrm{image}(f)\otimes_RS \longrightarrow S\otimes_RS \longrightarrow \left(S/\mathrm{image}(f)\right)\otimes_RS \longrightarrow 0$ $ y sabemos$ \mathrm{image}(f)\otimes_RS \cong S$ debido a que en la categoría$\mathcal{Rings}$ de anillos conmutativos con la identidad,$f(1_R)=1_S$ por lo el ideal$I=\ker(f)$ aniquila$S$ y sin pérdida de generalidad$R\cong R/I$ incrusta en$S$. Por exactitud,$\left(S/\mathrm{image}(f)\right)\otimes_RS= 0$ si y sólo si$S\otimes_R S\cong S$ como$S$ - módulos.