Una aplicación del teorema del valor medio

Question

Estoy recordando esta cuestión de la memoria, por lo que se pueden mezclarlo un poco.

Dejar $a/3+b/2+c=0$. Demostrar que$ax^2+bx+c=0$ tiene al menos una raíz en$[0,1]$ usando el teorema del valor medio.

Dejar $f(x)=ax^2+bc+c$. Entonces y $f(0)=c$. También $f(1)=a+b+c$. Por lo tanto existe$f'(x)=2ax+b$. Entonces $f(\xi)=[f(1)-f(0)]/1=a+b-c$.

No estoy seguro de si esto es correcto o dónde ir desde aquí.

Answer 1

Aplicar MVT a$g(x) = \int (ax^2+bx+c) dx$.

Answer 2

En primer lugar, si$a =0$, entonces tenemos$bx + c = 0 \implies x = - \frac{c}{b} = \frac{b/2}{b} = \frac{1}{2}$.

Ahora, supongamos$a \neq 0$. Tenga en cuenta que$c = - \frac{a}{3} - \frac{b}{2}$, por lo que desea probar que la función$f(x) = ax^2 + bx - \frac{a}{3} - \frac{b}{2}$ tiene una raíz en$[0,1]$. Tenemos$f(0) = - \frac{a}{3} - \frac{b}{2}$ y$f(1) = \frac{2}{3} a + \frac{1}{2} b$. Tenga en cuenta que$$f(0)\cdot f(1) = - \frac{2}{9}a^2 - \frac{1}{4}b^2 < 0$$ as $ a \ neq 0$. Thus, $ f (0)$ and $ f (1)$ have different signs, and by the Intermediate Value Theorem, there is a root in $ [0,1] $.