Las inclusiones de$\ell^p$ y$L^p$ espacios

Question

Recuerdo haber visto esto hace algún tiempo, pero no puedo encontrar ejemplos en cualquier lugar.

Recordar que si $p<q$,$\ell^p\subseteq\ell^q$$L^q[0,1]\subseteq L^p[0,1]$. Así que podemos preguntarnos si alguna de las igualdades $$\ell^p=\bigcap_{q>p}\ell^q,\quad \ell^q=\bigcup_{p<q}\ell^p,\quad L^p[0,1]=\bigcup_{q>p}L^q[0,1],\quad L^q[0,1]=\bigcap_{p<q}L^p[0,1]$$ es cierto. Si recuerdo correctamente, ninguno de estos es cierto, pero simplemente me las arreglé para encontrar un contraejemplo para el primero: la secuencia de $(n^{-1/p})$ pertenece a $\bigcap_{q>p}\ell^q$, pero no a $\ell^p$.

Por otra parte, recuerdo que $L^p(\mathbb{R})$ $L^q(\mathbb{R})$ no adaptarse a cualquier relación de inclusión.

Lo que sería contra-ejemplos a esas igualdades? Gracias.

Answer 1

1. Para$L^p(\mathbb{R})$$L^q(\mathbb{R})$, supongamos $p < q$. Deje $f(x) = x^{-2/(p+q)}$ $x > 0$ $0$ lo contrario. Deje $f_p(x) = f(x)$ si $x < 1$ $0$ lo contrario, y $f_q(x) = f(x)$ si $x > 1$ $0$ lo contrario. A continuación,$f_p\in L^p \setminus L^q$$f_q \in L^q \setminus L^p$.

2. Para $L^q[0,1]$ como una intersección de $L^p$$p < q$. La función de $x^{-1/q}$ es un ejemplo.

3. Para $L^q[0,1]$ como una unión de $L^p$$p > q$, considere la función $(x (\log x)^2)^{-1/q}$.

4. Para $\ell^q$ como una unión de $\ell^p$$p < q$, yo creo que la secuencia de $[n (\log (3+n))^2]^{-1/q}$ debería funcionar, pero necesita ser comprobada. Si no, algo muy similar podría funcionar.