Me encontré con un artículo sobre las Sumas de 2-por-2 Matrices con Determinante Uno. En el papel, que tengo muy bien indicado aquí para referencia, la autora afirma, pero sin pruebas, que un $2 \times 2$ es una suma de elementos de la especial lineales grupo, $SL_2(\mathbb{F})$, cuyos elementos, $U$, también se $2 \times 2$ matrices, de tal manera que $|U|=1$.
Yo estaba pensando en probar esto ya sea por la técnica. Deje $A= \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$, e $a, b, c, d \in \mathbb{F}$.
Técnica 1. Considere las siguientes 4 matrices con determinante 1: $M_1= \begin{bmatrix}e & 0\\0 & 1/e\end{bmatrix}$, $M_2 = \begin{bmatrix}0 & -f\\1/f & 0\end{bmatrix}$, $M_3 = \begin{bmatrix}1/h & 0\\0 & h\end{bmatrix}$, y $M_4 = \begin{bmatrix}0 & 1/g\\-g & 0\end{bmatrix}$.
Nos muestran que ese $\sum\limits_{i=1}^4 M_i = A$.
Por lo tanto, hemos $e + 1/h = a$, $1/e + h = d$, $-f + 1/g = b$, $1/f - g = c$.
Técnica 2. Considere la posibilidad de $\{U_i\}_{i=1} ^\infty \in SL_2(\mathbb{F})$. Demostrar que la suma de una contables de número de $U_i$s es $A$. El problema que tenemos aquí es que no sé cómo continuar a partir de aquí.
No sé si alguno de estos se considera correcta, sin embargo.
Espero que alguien pueda ayudarme a salir de aquí. Gracias.
