La función$f:G \rightarrow G$ definido por$f(x)=x^2$ es un homomorfismo si y sólo si G es abeliano.

Question

Sea G un grupo. La función de $f:G \rightarrow G$ definido por $f(x)=x^2$ es un homomorphism iff G es abelian.

Estoy teniendo problemas con la 2ª parte de la prueba.

Prueba:

Asumir la función de $f:G \rightarrow G$ está definido por $f(x)=x^2$, entonces:

1. Suponga $f$ es un homomorphism, a continuación, $f$ satisface la propiedad: $$ f(xy)=f(x)f(y) $$

donde $x,y \in G$

Observe cómo: $$f(xy)=(xy)^2=xyxy$$ $$f(x)f(y)=x^2y^2=xxyy $$

Desde $f(xy)=f(x)f(y)$, por sustitución:

$$xyxy=xxyy$$

Multiplicando el derecho por $y^{-1}$, y la izquierda por $x^{-1}$, entonces:

$$yx=xy$$ lo que significa que G es abelian

2. Suponga que G es abelian, queremos mostrar a $f$ es un homomorphism

Para la 2ª parte de la prueba, acabo de trabajar hacia atrás a partir de la primera parte de la prueba? Aquí está un resumen:

a continuación, para $x,y \in G$

$$yx=xy$ $ , por definición, de abelian grupos.

Varios la derecha y la izquierda en x, tenemos:

$$xyxy=xxyy$$

que es igual a: $$(xy)^2=(x)^2(y)^2$$

desde que se nos da $f(x)=x^2$ luego traducir esto a la afirmación anterior: $$f(xy)=f(x)f(y)$$

que satisface la propiedad de homomorphism.

¿Que mirar a la derecha?

Answer 1

Su solución es ciertamente correcto y justo para ponerlo de una manera agradable lo que puede hacer para la segunda parte es el siguiente

Es necesario demostrar que$f(xy) = f(x)f(y)$. Proceder de la siguiente manera \begin{align*} f(xy) &= (xy)^2\\ &=xyxy\\ &=xxyy & & (\text{because %#%#%})\\ &=x^2y^2\\ &=f(x)f(y). \end {align *}