Módulos sobre anillos artinianos locales

Question

Qué se sabe de la estructura de los módulos generados finitamente sobre anillos conmutativos artinianos locales $R$ ? Se agradece cualquier información. Denotemos por $\mathfrak{m}$ el ideal máximo y por $k$ el campo de los residuos. Supongamos que $k \subseteq R$ . Incluso podemos limitarnos al caso especial $R_{n,d}=k[T_1,\dotsc,T_d]/(T_1,\dotsc,T_d)^n$ .

En el caso $\mathfrak{m}^2=0$ existe una clasificación completa, véase SE/623261 . En el caso general tenemos $\mathfrak{m}^n=0$ para algunos $n \geq 1$ . Cualquier generación finita $R$ -Módulo $M$ tiene una filtración $0 \subseteq \mathfrak{m}^{n-1} M \subseteq \dotsc \subseteq \mathfrak{m} M \subseteq M$ en el que cada cociente de filtración $\mathfrak{m}^k M / \mathfrak{m}^{k+1} M$ es una dimensión finita $R/\mathfrak{m}$ -(por lo tanto, está determinada por su dimensión). Pero, ¿cómo clasificar las extensiones (iteradas)?

En realidad, para mis propósitos, bastaría con dar una clase "básica" de los generados finitamente $R$ -módulos $\mathcal{C}$ de modo que todo lo que se genera finitamente $R$ -se incrusta en una suma directa de módulos en $\mathcal{C}$ . He leído que podemos tomar $\mathcal{C}=\{R^*\}$ , donde $R^* = \hom_k(R,k)$ con lo obvio $R$ -estructura de módulo. ¿Y otros ejemplos?

Answer 1

Esto es más bien una respuesta general a la primera frase. $\DeclareMathOperator{\m}{\mathfrak{m}}$ Si $(R, \m, k)$ es un anillo local artiniano (no sólo $k[x_1,\ldots,x_d]/(x_1,\ldots,x_d)^n$ ), entonces el $4$ las categorías de los módulos coinciden: $\DeclareMathOperator{\Hom}{\operatorname{Hom}}$ $$\{ \text{f.g. $ R $-modules}\} = \{\text{Noetherian $ R $-modules}\} = \{\text{Artinian $ R $-modules}\} = \{\text{finite-length $ R $-modules}\}$$

Así, una primera parametrización de esta categoría es por la longitud, un entero no negativo (en su "extensión iterada", esto corresponde a tomar cada cociente sucesivo para ser sólo $k$ ).

Esta categoría también goza de una dualidad canónica, la dualidad de Matlis, dada por $\Hom_R(\_, E(k))$ , donde $E(\_)$ denota la envolvente inyectiva. Cualquier functor dualizador sobre esta categoría es isomorfo a éste, por lo que de hecho $R^* = \Hom_k(R, k) \cong E(k)$ . Sin embargo, $E(k)$ es "más natural" en el sentido de que sólo depende de $R$ y no la elección del subcampo $k \subseteq R$ (aunque en cualquier caso el campo de residuos es un subcampo $R/\m \hookrightarrow R$ ya que $\m \in \text{Ass}(R)$ ).

Además, que $E(k)$ es un cogenerador inyectivo está claro, ya que es el único inyectivo indecomponible $R$ -por lo que cualquier módulo inyectivo $R$ -es una suma directa de copias de $E(k)$ . Por último, se tiene que $\Hom_R(\_, E(k))$ preserva las longitudes, e intercambia el número mínimo de generadores con el tipo.