la identidad de Fibonacci y Lucas

Question

Por el método de prueba y error he observado la siguiente identidad por tomar algunos de los valores numéricos. Esos son

1. $F_m$|$L_n$ sólo es válido si uno de los siguientes sostiene.
   a) $m = 1$ o $m =2$
   b) $m = 3$ o $3|n$
   c) $n$ es congruente a $2\pmod 4$$m = 4$.

La identidad es:

1. un) $F_{m+n}$ = $F_{m-1}$ $F_n$ + $F_m$ $F_{n+1}$
   b) ($L_m$, $F_m$) = 1 o 2.

Por desgracia, no pude conseguir las pruebas para la citada identidades. Pero, numéricamente y por ensayo y error, los métodos, la citada identidades son muy correctos. Estoy buscando un comprobante(s) de la anterior identidades...

editada La suma de cualquiera de las diez números de Fibonacci consecutivos es siempre divisible por 11.

Answer 1

El resultado de que no Fibonacci número mayor que 3 es Lucasiano (es decir, un divisor de un número Lucas) puede ser encontrado en el libro Matemática vistas: desde una habitación con muchas ventanas Por Peter John Hilton, Derek Allan Holton, Jean Pedersen como Teorema 8 en la página 56.

La referencia para este resultado da en este libro es el papel en el Hilton, Pedersen, Somer: En Lucasiano de los Números.

Este hecho también se menciona en el y de el papel Marjorie Bicknell y Verner E. Hoggatt, Jr: Un manual para los Números de Fibonacci IX - Probar: $F_n$ Divide $F_{nk}$, pero no hay ninguna referencia que allí se indican.

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Los casos de $F_0=F_1=1$ son triviales (cada número es divisible por 1). Los casos de $F_2=2$ $F_3=3$ puede ser resuelto fácilmente por darse cuenta de la periodicidad de Lucas secuencias modulo 2 y 3. Es decir, se puede observar que los residuos modulo 2 en el Lucas secuencia de
0,1,0,1,0,1,...
por lo tanto, incluso los términos son precisamente los que son divisibles por 2. Del mismo modo, si nos fijamos en el Lucas secuencia modulo 3, obtenemos
2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,...
y vemos que 2,1,0,1,1,2,0,2 es un período de longitud 8.

Enfoque Similar fue utilizado en estas preguntas:
La secuencia de Fibonacci divisible por 7?
$f_n$ es divisible por $4$ si y sólo si $n$ es divisible por $6$

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Aunque la pregunta acerca de la suma de 10 números de Fibonacci consecutivos fue contestado por Andre, yo estoy añadiendo un diferente enfoque posible:

$F_n+F_{n+1}+F_{n+2}+F_{n+3}+F_{n+4}+F_{n+5}+F_{n+6}+F_{n+7}+F_{n+8}+F_{n+9}=$
$F_n+F_{n+1}+F_{n+2}+F_{n+3}+F_{n+4}+F_{n+5}+F_{n+6}+2F_{n+7}+2F_{n+8}=$
$F_n+F_{n+1}+F_{n+2}+F_{n+3}+F_{n+4}+F_{n+5}+3F_{n+6}+4F_{n+7}=$
$F_n+F_{n+1}+F_{n+2}+F_{n+3}+F_{n+4}+5F_{n+5}+7F_{n+6}=$
$F_n+F_{n+1}+F_{n+2}+F_{n+3}+8F_{n+4}+12F_{n+5}=$
$F_n+F_{n+1}+F_{n+2}+2F_{n+3}+9F_{n+4}+11F_{n+5}=$
$F_n+F_{n+1}+10F_{n+2}+11F_{n+3}+11F_{n+5}=$
$11F_n+11F_{n+1}+11F_{n+3}+11F_{n+5}=$
$11(F_n+F_{n+1}+F_{n+3}+F_{n+5})$

Answer 2

Esta respuesta sólo soluciona el problema (añadido en una edición), mostrando que la suma de cualquiera de las $10$ números de Fibonacci consecutivos es divisible por $11$. Otro de los problemas que han sido abordados por Martin Sleziak.

Tomamos los números de Fibonacci para ser $0$, $1$, $1$, $2$, $3$, $5$, y así sucesivamente. Calcular el resto cuando los números de Fibonacci son divisibles por $11$. Tenga en cuenta que el resto al $F_{m+2}$ se divide por un número entero positivo $d$ está totalmente determinado por los restos de al $F_{m+1}$ $F_m$ están divididos por $d$.

Así modulo $11$ tenemos $$0,1,1,2,3,5,8,2,10,1,0,1,1,2,3,5,8,2,10,1,0,1,1,2,\dots.$$

No es obvio aparente de la bicicleta con el período de $10$. ¿Cómo sabemos que esto va para siempre? Una vez que los dos consecutivos de entradas son las mismas que las dos anteriores entradas consecutivos, debe ser de ciclismo para siempre, ya que la secuencia de Fibonacci reducido con respecto a cualquier módulo de $d$ satisface la relación $F_{n+2}\equiv F_{n+1}+F_n \pmod{d}$.

De modo que la suma de cualquiera de las $10$ consecutivos de la sucesión de Fibonacci es, modulo $11$, igual a la suma de los primeros a $10$ entradas. Esta suma, modulo $11$$0$.