Es$\{g \in G : |g| < \infty\}$ siempre subgrupo de un grupo$G$?

Question

Duplicar posibles:
$T(G)$ Puede no ser un subgrupo?

Deje$G$ sea un grupo, y considerar$H = \{g \in G : |g| < \infty\}$.

Pregunta: ¿Debe% $H$necesariamente un subgrupo de$G$?

Aquí,$|g|$ denota el orden del elemento$g$.

Answer 1

En general es falso que el subconjunto de elementos de un grupo de $G$ finito de orden es un subgrupo. Creo que los más sencillos, en cierto sentido, es el caso de los $GL_2(\Bbb R)$. Deje $s_1$ $s_2$ ser simetrías con respecto a las líneas de $\ell_1$ $\ell_2$ a través del origen. A continuación, $s_1$ $s_2$ tiene orden finito (la igualdad en realidad a$2$), pero el producto $s_1s_2$ es una rotación cuyo fin es finito si y sólo si las líneas $\ell_1$ $\ell_2$ forma un ángulo que es un racional múltiples de $2\pi$ (que obviamente no es siempre el caso).

Sin embargo, la afirmación es verdadera cuando el grupo $G$ es conmutativa. De esta manera se sigue inmediatamente a partir de la observación de que, si $ab=ba$, entonces el orden de $ab$ divide el mínimo común múltiplo de los pedidos de $a$$b$.