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Es{gG:|g|<} siempre subgrupo de un grupoG?

Duplicar posibles:
T(G) Puede no ser un subgrupo?

DejeG sea un grupo, y considerarH={gG:|g|<}.

Pregunta: ¿Debe% Hnecesariamente un subgrupo deG?

Aquí,|g| denota el orden del elementog.

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Rob Lachlan Puntos 7880

En general es falso que el subconjunto de elementos de un grupo de G finito de orden es un subgrupo. Creo que los más sencillos, en cierto sentido, es el caso de los GL2(R). Deje s1 s2 ser simetrías con respecto a las líneas de 1 2 a través del origen. A continuación, s1 s2 tiene orden finito (la igualdad en realidad a2), pero el producto s1s2 es una rotación cuyo fin es finito si y sólo si las líneas 1 2 forma un ángulo que es un racional múltiples de 2π (que obviamente no es siempre el caso).

Sin embargo, la afirmación es verdadera cuando el grupo G es conmutativa. De esta manera se sigue inmediatamente a partir de la observación de que, si ab=ba, entonces el orden de ab divide el mínimo común múltiplo de los pedidos de ab.

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