¿Por qué $1$ no se considera para ser un número primo?
O ¿por qué se da la definición de números primos para los números enteros mayores que $1$?
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Eggs McLaren
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El principal punto de hablar de los números primos es del teorema de Euclides que cada entero positivo puede escribirse de forma única como producto de números primos. Como Justin comentarios, esto rompería horriblemente si $1$ fueron considerados prime, por ejemplo podríamos factor de $2$$2\times1\times1\times1\times1\times1$. En su lugar hemos de decir que el $1$ no es un número primo, pero es el producto de cero de los números primos (ver ¿por Qué es $x^0 = 1$, excepto cuando se $x = 0$? para comprender por qué un primer multiplicado por sí mismo $0$ veces es $1$) por Euclides del teorema funciona muy bien!
Can Berk Güder
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realidad 1 fue considerado el primer número hasta el principio del siglo 20. Única factorización fue una fuerza impulsora debajo de su cambio de estado, ya que la formulación es quickier si 1 no se considera un primo, pero creo que la teoría del grupo fue la otra fuerza. De hecho, yo prefiero describir números primos y compuestos de unidades, que son números cuya inversa existe (por lo que si tomamos el conjunto de los números enteros Z, tenemos que 1 y -1 son unidades y todavía tenemos la única factorización hasta unidades).
Siempre podemos modificar el defition de un número primo y dicen que es un número con exactamente dos divisores: 1 no es un número primo, por definición,: -)
David HAust
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Vale la pena destacar que, además de factorización única, también hay algo más profundo razones estructurales que subyacen a la convención que $\:1\:$ es ni el primer ni el primer ideal, sino $\:0\:$ es. A continuación se analizan las motivaciones para estos diferentes convenios.
Una importante motivación para incluir el cero ideal como primer es que esto facilita la poderosa reducciones. Por ejemplo, en muchos anillo teórica de los problemas que implican un ideal $\rm\; I\;$, se puede reducir al caso $\rm\;I = P\;$ prime, y luego reducir a $\rm\;R/P\;$, por lo tanto se reduce al caso en el que el anillo es un dominio. En este caso simplemente se dice que uno puede factor $\rm\; P\;$, por lo que wlog asumen $\rm\; P = 0\;$ es primo, por lo tanto el anillo es un dominio. Por ejemplo, al final de este post es un extracto de Kaplansky clásico de los libros de texto "Conmutativa de los Anillos", la sección 1-3: G-Ideales, Hilbert Anillos, y el Nullstellensatz, donde he explícitamente de relieve algunos ejemplos prototípicos de tales reducciones - cf. reducir a...
Así tenemos evidencia sólida sobre la utilidad de la convención que el cero ideal es principal. Así que ¿por qué no adoptamos la misma convención para la unidad ideal $1$ o, equivalentemente, ¿por qué no podemos permitir que el cero del anillo como un dominio? Hay un número de razones. En primer lugar, en los dominios y campos que a menudo resulta muy conveniente asumir que uno tiene un valor distinto de cero elemento disponible. Esto permite que las pruebas por la contradicción a la conclusión de deducir $1 = 0\:$. Lo que es más importante, implica que el grupo de la unidad es no vacío, por lo que la unidad de los grupos de existir siempre. Sería muy incómodo tener que añadir siempre la condición (excepto si $\;\rm R = 0)$ a la omnipresente argumentos que involucran unidades y grupos de unidades. Más en general vale la pena destacar que las reglas habituales de la lógica ecuacional no están completas para vaciar las estructuras. Es por eso que los grupos y otras estructuras algebraicas son siempre axiomatized para evitar el vacío de las estructuras (ver este hilo para más detalles).
A continuación es el mencionado Kaplansky extracto sobre la reducción de los dominios por factorizando el primer ideales.
Deje $\rm\; I\;$ ser cualquier ideal en un anillo de $\rm\; R\;$. Escribimos $\rm\: R^{*}\:$ para el cociente del anillo de $\rm\; R/I\;$. En el polinomio anillo de $\rm\; R[x]\;$ hay una pequeña extensión de $\rm\; IR[x]\;$$\rm\; I\;$. El cociente del anillo de $\rm\; R[x]/IR[x]\;$ es de una manera natural isomorfo a $\rm\; R^*[x].\;$ En el tratamiento de muchos problemas, podemos de esta manera a reducir, para el caso de $\rm\; I = 0\;$, y a menudo vamos a hacerlo.
TEOREMA 28. $\;$ Deje $\rm\; M\;$ ser un ideal maximal en $\rm\; R[x]\;$ y supongamos que la contracción de la $\rm\; M \cap R\ =\ N\;$ es máxima en $\rm\; R\;.\ $ $\rm\; M\;$ puede ser generado por $\rm\; N\;$ y un elemento más $\rm\; f\:.\ $ podemos seleccionar $\rm\; f\;$ a ser un monic polinomio que los mapas de mod $\rm\; N\;$ a un polinomio irreducible sobre el campo $\rm\; R/N\;$.
Prueba. $\;$ , Se puede reducir al caso $\rm\; N = 0,\;$ i. e., $\rm\; R\;$ un campo y, a continuación, la declaración es inmediata.
TEOREMA 31. $\;$ Un anillo conmutativo $\rm\; R\;\;$ es un anillo de Hilbert si y sólo si el polinomio anillo de $\rm\; R[x] \;\;$ es un anillo de Hilbert.
Prueba. $\;$ Si $\rm\; \;\rm R[x]\;$ es un anillo de Hilbert, por lo que es su imagen homomórfica $\rm\; R\;$. Por el contrario, asumir que $\rm\; R\;$ es un anillo de Hilbert. Tomar un G-ideal $\rm\: Q\:$$\rm\; R[x]\;$; debemos demostrar que $\rm\: Q\:$ es máxima. Deje $\rm\: P = Q \cap R\:$; podemos reducir el problema al caso de $\rm\ P = 0\:,\ $ que, por cierto, hace $\rm\ R\ $ un dominio. Deje $\rm\; u\;$ ser la imagen de $\rm\; x\;$ natural en la homomorphism $\rm\ R[x] \ \to\ R[x]/Q\ .\ \ $ $\rm\; R[u]\;$ es un G-dominio. $\ $ Por el Teorema 23, $\rm\ u\ $ es algebraico sobre $\rm\ R\ $ $\rm\ R\ $ es un G-dominio. Desde $\rm\:R\:$ es un G-dominio y un anillo de Hilbert, $\rm\ R\ $ es un campo. $\ $ , Pero esto hace que $\rm\ R[u] = R[x]/Q\ $ un campo, $\ $ demostrando $\rm\ Q\ $ a ser máxima.
Mike Powell
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Como esta pregunta ha sido mejorado, así se podría hablar de este gran artículo de Chris Caldwell (que mantiene El Primer Páginas) y Yeng Xiong:
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"¿Cuál es la menor prime?", J. Int. Seq., Vol. 15 (2012), Artículo 12.9.7,
arXiv:1209.2007 [matemáticas.HO]
El resumen:
¿Cuál es el primer prime? Parece que el número dos debe ser la respuesta obvia, y hoy en día es, pero no siempre fue así. Hubo momentos en que los matemáticos y para quienes los números uno y tres fueron respuestas aceptables. Para encontrar el primer prime, también debemos saber cuál es el primer número entero positivo. Sorprendentemente, con las definiciones que se utilizan en varios momentos a lo largo de la historia, uno era a menudo no es el primer número entero positivo (algunos comenzaron con dos, y unos pocos con tres). En este artículo, hacemos un estudio de la historia de la primalidad de uno de los antiguos Griegos a los tiempos modernos. Vamos a discutir algunas de las razones por las definiciones cambiado, y ofrecen varios ejemplos. También vamos a discutir el último importantes matemáticos de la lista el número uno como primer.
Esto demuestra que "no parece ser cualquier período de tiempo durante el cual la mayoría de los matemáticos que los considera para ser una de las primeras" (en gran medida porque "gran parte de la historia no siquiera tiene sentido preguntar si el número uno era un prime", como el 1 no se considera un número). Pero, así como un teaser, aquí hay un par de citas (me he quitado las referencias para realizar esta lectura):
Otras personas que se enumeran a uno como prime en este período son F.(sic)* Wallis (1685), J. Prestet (1689), C. Goldbach (1742), J. H. Lambert (1770), A. Felkel (1776) y E. Waring (1782). [...]
Incluso después de Gauss fundamental de texto, muchos continuaron a escribir que la unidad era el primer. Entre estos están: A. M. Legendre (1830), E. Hinkley (1853), M. Glaisher (1876), K. Weierstrass (1876), R. Frick & F. Klein (1897), A. Cayley (1890), L. Kronecker (1901), G. Chrystal (1904) y el D. N. Lehmer (1914). [...]
G. H. Hardy aparece uno como una de las principales en varias ediciones de su texto de Un Curso de Matemática Pura.
Leer el artículo; es realmente interesante! También tienen una "historia de la primalidad de un proyecto de selección de las fuentes".
*Tenga en cuenta que "F. Wallis" en el texto citado es incorrecta en el artículo original. Sin embargo, es al pie de la tabla correctamente en el artículo original como "J. Wallis". He añadido (sic) de arriba para indicar el error.
