Relación termodinámica

Question

$$\left(\frac{dU}{dT}\right)_p= \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_v + \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$$

Usando las relaciones de maxwell etcetera, usted me puede mostrar cómo probar sobre relación termodinámica.

Answer 1

Cuando se trata con termodinámico igualdades, es muy útil para introducir a los determinantes Jacobianos $$ \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} = \begin{vmatrix} (\partial_x u)_y & (\partial_y u)_x \\ (\partial_x v)_y & (\partial_y v)_x \end{vmatrix}.$$ Aquí, tenemos y se supone implícitamente que el$u(x,y)$$v(x,y)$. Pero, ya que a menudo el cambio de las variables que la función depende, siempre tenemos la variable que se mantiene constante como un subíndice el soporte que rodea la derivada parcial. En termodinámica, siempre debes pensar en que las funciones definidas implícitamente. Todas las cantidades en vivo en una superficie 2D. Por lo tanto la especificación de dos coordenadas independientes que usted puede averiguar una tercera.

El Jacobiano tiene las siguientes propiedades: $$\frac{\partial (u,y)}{\partial (x,y)} = \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)_y,$$ $$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} = \left(\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right)^{-1}, \qquad\text{(inverse function theorem)}$$ y $$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} = \frac{\partial (u,v)}{\partial (s,t)} \frac{\partial (s,t)}{\partial (x,y)} . \qquad\text{(chain rule)}$$

En su caso $$\left(\frac{\partial U}{\partial T} \right)_p= \frac{\partial (U,p)}{\partial (T,p)} = \frac{\partial(U,p)/\parcial(T,V) }{\partial(T,p)/\parcial(T,V)} = \frac{(\partial U/\parcial T)_V (\partial p/\partial V)_T - (\partial U/\partial V)_T (\partial p/\parcial T)_V}{\left(\partial p/\partial V\right)_T}. $$ Ahora, tenemos que evaluar $$\frac{(\partial p/\parcial T)_V}{(\partial p/\partial V)_T} = \frac{\partial(p,V)}{\partial(T,V)} \Big/\frac{\partial(p,T)}{\partial(V,T)} = - \frac{\partial(p,V)}{\partial(V,T)} \frac{\partial(V,T)}{\partial(p,T)} = - \frac{\partial(p,V)}{\partial(p,T)} = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p .$$ Así, en total, hemos $$\left(\frac{\partial U}{\partial T} \right)_p =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V +\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p. $$

Tenga en cuenta que nosotros no utilizamos ninguna relación de Maxwell. Su relación es sólo un hecho acerca de las derivadas parciales.

Answer 2

La cantidad de $U$ puede considerarse como una función de la $p$$T$, vamos a escribir como $U = f(p,T)$, o como una función de la $V$$T$, vamos a escribir que como $U=g(V,T)$. También podemos ver $V$ como una función de la $p$$T$, que escribimos como $V=h(p,T)$, y esto nos da la relación entre las dos formas de representar $U$: $$ f(P,T)=g(h(p,T),T). $$ Tomando la derivada parcial de w.r.t. $T$ en ambos lados, da (de acuerdo a la regla de la cadena) $$ \frac{\partial f}{\partial T}(P,T) = \frac{\partial g}{\partial V}(h(p,T),T) \cdot \frac{\partial h}{\partial T}(p,T) + \frac{\partial g}{\partial T}(h(p,T),T) \cdot 1 , $$ y esto es sólo otra manera de escribir de su relación. (En un puro matemático de la notación, se podría decir, ya que (a diferencia de phycisists y los matemáticos) evitamos el uso de la misma letra para una cantidad física y para la función matemática que representa la dependencia de la cantidad de otras magnitudes físicas. En este caso, yo diría que esta práctica reduce el riesgo de confusión, al menos para los principiantes.)