Demuestra que $\sup\left\{\frac{1}{\varepsilon}\int_{\{|f|<\varepsilon\}}|f'(x)|dx:\varepsilon\in(0,1]\right\}$ es finito

Question

Dejemos que $[a,b]$ sea un intervalo cerrado y acotado y sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ sea una función continuamente diferenciable $f\in C^1([a,b])$ . Estoy tratando de ligar desde arriba la siguiente expresión $$\frac{1}{\varepsilon}\int_{\{|f|<\varepsilon\}}|f'(x)|dx$$ uniformemente como $\varepsilon\downarrow 0$ .

Me gustaría probar $$\sup\left\{\frac{1}{\varepsilon}\int_{\{|f|<\varepsilon\}}|f'(x)|dx:\varepsilon\in(0,1]\right\}$$ es finito pero no tengo ni idea de cómo hacerlo. ¿Alguna sugerencia?

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Olivier me ha hecho ver que probablemente debería explicar cómo surgió esto, así que explicaré la pregunta original. Consideremos la aproximación de la función escalonada del delta de Dirac $\delta^\varepsilon(t)=\frac{1}{2\varepsilon}\textbf{1}_{\{|t|<\varepsilon\}}$ . Me gustaría justificar por $f\in C^1(\mathbb{R})$ la ecuación $$\lim_{\varepsilon\downarrow 0}\int_0^T\delta^\varepsilon(f(t))|f'(t)|dt=\int_0^T\lim_{\varepsilon\downarrow0}\delta^\varepsilon(f(t))|f'(t)|dt$$

Cualquier sugerencia al respecto sería igualmente útil.

Answer 1

Esto no es cierto.

Supongamos que $f$ tiene un número infinito de ceros $z$ para lo cual $f'(x)$ es una constante $M_z\not = 0$ en un pequeño barrio de $z$ . Para cualquier $\varepsilon > 0$ , dejemos que $z_1, z_2, \dots, z_n$ sean ceros de $f$ y $E_i \ni z_i$ sean componentes conectados de $\{x : |f(x)| < \varepsilon\}$ tal que $f'|_{E_i} = M_i \not = 0$ . Denote por $l(E_i)$ la medida de $E_i$ . Entonces $l(E_i) |M_i| = 2\varepsilon$ y $$ \frac{1}{\varepsilon} \int_{|f| < \varepsilon} |f'(x)| dx \geq \frac{1}{\varepsilon}\sum_{i=1}^n l(E_i)|M_i| = 2n. $$ Tomando $\varepsilon > 0$ suficientemente pequeño, podemos encontrar un número arbitrariamente grande $n$ de tales ceros $z_i$ y componentes $E_i$ . El supremum es, por tanto, infinito.

Nota: El argumento podría refinarse y aplicarse a $f(x) = x^3 \sin (1/x)$ definido en $[0,1]$ por ejemplo.