Hay una serie $A \subset [0,1]$ tal que para cada conjunto de Borel $B \subset [0,1]$ positivas de la medida de Lebesgue, tanto en $B \cap A$ $B \setminus A$ son no vacíos?
Esto es, en un sentido, la "medida de la teoría de la analógica" de los más obvios topológico pregunta: ¿hay un conjunto $A$ tal que para cada no-vacío abierto $U \subset [0,1]$ ambos $U \cap A$ $U \setminus A$ son no vacíos? (Para la cual la respuesta es, obviamente,$A:=\mathbb{Q}$.)
Ahora está claro que $A$ no puede ser en sí mismo un conjunto de Borel no trivial de la medida de Lebesgue (solo tome $B=A$). Mi intuición es que $A$ no puede ser de cualquiera de Lebesgue-medible conjunto.
Pensé acerca de la toma de $A$ a ser un conjunto que consta de un punto de cada órbita de la $x \mapsto x+\sqrt{2} \; \mathrm{mod} \; 1$, o, al menos, una unión de estos conjuntos. Pero no estoy seguro si esto se pone en cualquier lugar.