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¿Hay un conjunto de $A \subset [0,1]$ tal que ambos $A$ y $[0,1] \setminus A$ cruzan cada conjunto de medida positiva?

Hay una serie $A \subset [0,1]$ tal que para cada conjunto de Borel $B \subset [0,1]$ positivas de la medida de Lebesgue, tanto en $B \cap A$ $B \setminus A$ son no vacíos?

Esto es, en un sentido, la "medida de la teoría de la analógica" de los más obvios topológico pregunta: ¿hay un conjunto $A$ tal que para cada no-vacío abierto $U \subset [0,1]$ ambos $U \cap A$ $U \setminus A$ son no vacíos? (Para la cual la respuesta es, obviamente,$A:=\mathbb{Q}$.)

Ahora está claro que $A$ no puede ser en sí mismo un conjunto de Borel no trivial de la medida de Lebesgue (solo tome $B=A$). Mi intuición es que $A$ no puede ser de cualquiera de Lebesgue-medible conjunto.

Pensé acerca de la toma de $A$ a ser un conjunto que consta de un punto de cada órbita de la $x \mapsto x+\sqrt{2} \; \mathrm{mod} \; 1$, o, al menos, una unión de estos conjuntos. Pero no estoy seguro si esto se pone en cualquier lugar.

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Shabaz Puntos 403

Como se muestra en esta pregunta hay $\mathfrak c$ conjuntos de Borel, que puede ser extendido para el hecho de que no se $\mathfrak c$ conjuntos de Borel de medida positiva. Cada uno con medida positiva debe tener continuidad en muchos puntos. Ponerlos en un orden bien en el tipo de $\mathfrak c$, por lo que cada uno ha $\lt \mathfrak c$ predecesores. Tomar cada vuelta y encontrar dos puntos que no han sido contabilizados todavía. Ponga uno en $A$ y una en $\overline A$. Como por el momento de llegar a cada conjunto representaron menos del $\mathfrak c$ puntos, siempre se puede encontrar dos nuevos puntos para trabajar. Si usted tiene alguno de los puntos no se contabilizan cuando haya terminado con el positivo de los conjuntos de Borel, ponerlos donde quieras.

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