Conversar shell teorema de punto exterior de la misa:
Suponga que la fuerza de ${\bf F}_{12}$ entre dos masas puntuales $m_1$ $m_2$ es colineal con la diferencia en las posiciones ${\bf r}_{12}:={\bf r}_1-{\bf r}_2$, que es central, y la magnitud $$|{\bf F}_{12}|=m_1m_2 f(|{\bf r}_{12}|)$$ is proportional to both the two point masses. We call the function $f(|{\bf r}_{12}|)$ la fuerza específica.
Suponga además que la magnitud de la fuerza entre un largo esféricamente simétrica de masa $M$ y un punto exterior de la masa $m$ $$|{\bf F}|=mM f(|{\bf r}|),$$
donde $|{\bf r}|$ es la distancia entre el $m$ y el centro de $M$.
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A continuación, la fuerza específica es una combinación lineal de
Esbozó una prueba: Vamos a utilizar la misma notación como en la página de la Wikipedia. Consideramos que el exterior de una cáscara delgada, es decir,$r\geq R$.
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Supongamos por simplicidad trabajo en términos de la energía potencial (en vez de la fuerza), porque es más fácil trabajar con un escalar (en lugar de un vector) cantidad. Podemos asumir que la contribución $dU$ a la energía potencial de la masa de $m$ $dM$ con la distancia $s$ es de la forma
$$ dU~=~m~dM~u(s),\tag{1}$$
donde $s\mapsto u(s)$ es un desconocido potencial específico. Definir para su posterior comodidad, la antiderivada
$$V(s)~:=~\int^s\! ds^{\prime}~s^{\prime}~ u(s^{\prime}),
\etiqueta{2}$$
así que
$$V^{\prime}(s)~\stackrel{(2)}{=}~s~u(s).\tag{3}$$
A partir de la geometría tenemos el coseno relación
$$ \cos\theta ~=~\frac{r^2+R^2-s^2}{2rR},\tag{4} $$
y por lo tanto
$$dM ~=~ \frac{M}{2}\sin\theta~ d\theta
~=~-\frac{M}{2}~d\cos(\theta)
~\stackrel{(4)}{=}~\frac{M}{2}\frac{s~ds}{rR}.\la etiqueta{5}$$
En la última igualdad de eq.(5) hemos variado $s$$\theta$, mientras que la celebración de $r$ $R$ fijo. Entonces tenemos
$$dU~\stackrel{(1)+(5)}{=}~\frac{mM}{2}\frac{s~ds}{rR}~u(s)
~\stackrel{(3)}{=}~\frac{mM}{2rR}ds~V^{\prime}(s).\la etiqueta{6}$$
Así que el total de la energía potencial es
$$U(r,r)~=~\int dU
~\stackrel{(6)}{=}~mM\frac{V(r+r)-V(r-R)}{2rR}$$
$$~\stackrel{(8)}{=}~\frac{mM}{r}\left(V^{\prime}(r)+ \frac{R^2}{6}V^{\prime\prime\prime}(r)+ {\cal O}(R^5)\right).\tag{7}$$
En la última igualdad de eq. (7), nos Taylor-ampliado el potencial de
$$V(r\pm R)~=~V(r) \pm RV^{\prime}(r) + \frac{R^2}{2}V^{\prime\prime}(r) \pm \frac{R^3}{6}V^{\prime\prime\prime}(r)+ {\cal O}(R^4). \tag{8}$$
Vamos ahora a aplicar los principales conversar shell asunción: asumimos que la energía potencial $U(r,R)$ hasta una ambigüedad en la elección de la energía de punto cero $U_0(R)$ no depende del radio de $R$ de la concha fina, es decir, $U(r,R)$ es de la forma
$$U(r,R)~=~U_1(r)+U_0(R) .\tag{9} $$
Vemos que la única manera de que la eq. (7) podría ser de la forma (9) es el fib
$$ V^{\prime\prime\prime}(r)~\stackrel{(7)+(9)}{\propto}~r,\tag{10} $$
es decir, $V^{\prime}$ 3 polinomiales de orden
$$ V^{\prime}(s)~\stackrel{(10)}{=}~As^3+Bs^2+Cs+D\tag{11}. $$
O en términos de los potenciales específicos
$$ u(s)~\stackrel{(3)+(11)}{=}~As^2+Bs+C+\frac{D}{s}\tag{12}. $$
O en términos de la fuerza específica
$$ -f(s)~=~u^{\prime}(s)~\stackrel{(12)}{=}~2As+B-\frac{D}{s^2}\tag{13}. $$
$\Box$
