¿Existe un complejo CW con grupo fundamental prescrito y homología superior trivial?

Question

En esta pregunta, el OP pregunta si es posible encontrar un complejo CW con grupos de homología y grupo fundamental prescritos. En mi respuesta (parcial), señalo que tomando la suma de cuñas de espacios de Moore, la condición de homología puede lograrse. Sin embargo, el espacio resultante no necesariamente tendrá el grupo fundamental prescrito. Para rectificar esto, es suficiente tener una respuesta positiva a la siguiente pregunta:

Sea $G$ un grupo. ¿Existe un complejo CW $X$ con $\pi_1(X) = G$ y $H_i(X; \mathbb{Z}) = 0$ para $i \geq 2$?

Answer 1

Sea $G$ un grupo, y $X$ un espacio con $\pi_1 = G$. Entonces existe un mapa $f: X \to K(G,1)$ (único hasta homotopía) que es la identidad en los grupos fundamentales. Luego, $f$ es sobreyectivo en la segunda homología, y el núcleo de $f$ está precisamente formado por las clases de homología representables por 2-esferas. Esto se debe a que puedes construir un modelo de $K(G,1)$ a partir de $X - agregando 3-células y superiores para anular los grupos de homotopía - y puedes extender el mapa $f$ sobre el nuevo $K(G,1)$ de forma que siga siendo la identidad en $\pi_1$. Por lo tanto, el mapa $f$ puede considerarse como la inclusión en el modelo de $K(G,1)$ que construimos, y todo lo que hicimos fue anular las 2-esferas en la segunda homología.

Por otro lado, podemos construir un espacio $X$ con $\pi_1 X = G$, $H_2(X) = H_2(G)$, y $H_k(X) = 0$ para todo $k \geq 3. Simplemente escribe un 2-complejo cuyo grupo fundamental sea $G$ (por ejemplo, un complejo de presentación) y agrega 3-células para eliminar cualquier clase de homología representada por esferas. Estas no contribuyen en la tercera homología porque su frontera es distinta de cero en el complejo de cadenas de homología celular. (Todavía podrías tener tercera homología, pero no con coeficientes de $\Bbb Z$.)