Conexión entre la transformada de Fourier y la serie de Taylor

Question

Ambos Transformación de Fourier y Serie Taylor son medios para representar funciones de forma diferente.

¿Cuál es la relación entre ambos? ¿Hay alguna forma de pasar de una a otra (y de vuelta)? ¿Existe una intuición general, de conexión (geométrica?)?

Answer 1

Supongamos que la expansión de Taylor $f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ es convergente para algún $|x|>1$ . Entonces $f$ puede extenderse de forma natural al dominio complejo escribiendo $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ con $z$ complejo y $|z|≤1$ . Así que podemos ver $f$ en el círculo unitario $|z|=1$ . Considere $f$ en función del ángulo polar $\phi$ allí, es decir, mira la función $F(\phi):=f(e^{i\phi})$ . Esta función $F$ es $2\pi$ -periódica, y su expansión de Fourier no es otra cosa que $F(\phi)=\sum_{k=0}^\infty a_k e^{ik\phi}$ donde el $a_k$ son los coeficientes de Taylor de la función "real" $x\mapsto f(x)$ con la que empezamos.

Answer 2

Una función holomorfa en un anillo que contiene el círculo unitario tiene un Serie Laurent sobre cero que generaliza la serie de Taylor de una función holomorfa en una vecindad de cero. Cuando se restringe al círculo unitario, esta serie de Laurent da una serie de Fourier de la función periódica correspondiente. (Esto explica la conexión entre la fórmula integral de Cauchy y la integral que define los coeficientes de una serie de Fourier).

Pero cabe mencionar que la transformada de Fourier es mucho más general que esto y se aplica en una amplia gama de contextos. No sé si hay una respuesta corta y sencilla a esta pregunta.

Edición: Supongo que también vale la pena hablar de la intuición. Una intuición para la serie de Taylor de una función $f(x)$ en un punto es que sus coeficientes describen el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, jerk y así sucesivamente de una partícula que se encuentra en el lugar $f(t)$ en el momento $t$ . Y una intuición para la serie de Fourier de una función periódica $f(x)$ es que describe la descomposición de $f(x)$ en tonos puros de varias frecuencias. En otras palabras, una función periódica es como un acorde, y su serie de Fourier describe las notas de ese acorde.

(La conexión entre ambas proporcionada por la fórmula de la integral de Cauchy es, por tanto, bastante notable; se toma una integral de $f$ sobre el círculo unitario y te da información sobre el comportamiento de $f$ en el origen . Pero esto es más una propiedad mágica de las funciones holomorfas que otra cosa. Una intuición para tener aquí es que una función holomorfa describe, por ejemplo, el flujo de algún fluido ideal, y la integración sobre el círculo te da información sobre las "fuentes" y los "sumideros" de ese flujo dentro del círculo).

Answer 3

Hay una analogía, más directa para las series de Fourier. Tanto las series de Fourier como las de Taylor son descomposiciones de una función $f(x)$ que se representa como una combinación lineal de un conjunto (contable) de funciones. La función se especifica entonces completamente por una secuencia de coeficientes, en lugar de por sus valores $f(x)$ para cada $x$ . En este sentido, ambos pueden ser llamados transformar $f(x) \leftrightarrow \{ a_0, a_1, ...\}$

Para la serie de Taylor (alrededor de 0, para simplificar), el conjunto de funciones es $\{1, x , x^2, x^3...\}$ . Para la serie de Fourier es $\{1, \sin(\omega x), \cos(\omega x), \sin(2 \omega x), \cos(2 \omega x) ...\}$ .

En realidad, la serie de Fourier es una de las muchas transformaciones que utilizan una base ortonómica de funciones. Se demuestra que, en ese caso, los coeficientes se obtienen "proyectando" $f(x)$ en cada función base, lo que equivale a un producto interno, que (en el caso escalar real) equivale a una integral. Esto implica que los coeficientes dependen de un global de la función (en todo el "período" de la función).

La serie de Taylor (que hace no utilizar una base ortonormal) es conceptualmente muy diferente, en el sentido de que los coeficientes dependen sólo en local propiedades de la función, es decir, su comportamiento en una vecindad (sus derivadas).

Answer 4

Hay una gran diferencia entre la serie de Taylor y la transformada de Fourier. La serie de Taylor es una aproximación local, mientras que la transformada de Fourier utiliza información sobre un rango de la variable.

El teorema que menciona Qiaochu es muy importante en el análisis complejo y es una indicación de lo restrictivo que es para las funciones tener una derivada en el plano complejo.

Answer 5

Creo que el eslabón perdido que conecta la transformada de Fourier con la expansión de la serie de Taylor es la fórmula de Euler, $e^{\jmath x}=\cos(x) +\jmath \sin(x)$ . Esta célebre fórmula establece una relación entre las funciones trigonométricas de entidades reales y las funciones exponenciales de entidades complejas (es decir, imaginarias). Al hacerlo, establece una conexión fundamental con la transformada de Fourier, que es esencialmente trigonométrica por naturaleza. De hecho, la transformada de Fourier para una función $f(t)$ es, por definición, una serie de Fourier de $f(t)$ interpretado como $t\rightarrow \infty$ y una serie de Fourier es, por definición, una suma lineal de funciones sin y cos. La serie de Taylor entra en juego en la derivación de la fórmula de Euler.

Como se ha mencionado anteriormente, la fórmula de Euler establece $e^{\jmath x}=\cos(x) +\jmath \sin(x)$ . Por lo tanto, es aceptable superponer conceptualmente el círculo unitario convencional (x, y) y el plano real-complejo, ya que ambos representan la expresión polar euleriana en el intervalo continuo de $0$ a $2\pi$ . Por lo tanto, evaluando la fórmula de Euler en $x=2\pi$ Llegar a $$e^{2\pi*\jmath \theta } = {\cos(}2\pi\theta)+j*{\sin}(2\pi\theta)$$ Esta expresión está intrínsecamente relacionada con la naturaleza de una transformada de Fourier, ya que las transformadas de Fourier tienen como objetivo convertir una función del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Para ello, descomponemos las funciones periódicas en simples sumas lineales de sen y cos, y dejamos que esta nueva función se acerque al infinito.

Entonces, ¿dónde encaja la serie Taylor en todo esto? Utilizamos la expansión de la serie de Taylor (o, más exactamente, la expansión de la serie de McLauren) para obtener la fórmula de Euler. Aquí está la prueba (o la derivada, según tu perspectiva):

Propuesta : Para cualquier número complejo $z$ , donde $z=x+\jmath y=x+\sqrt{-1}*y$ es decir $x=Re \{z \}\ $ y $y=Im \{z \}\ $ se puede decir que, para valores reales $x$ ,

$$ e^z=e^{j\pi} = \cos(x)+\jmath \sin(x)$$

Lema 1 : La expansión en serie de Taylor de una función infinitamente diferenciable $f(x)$ en el barrio $a$ se define $$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^k(a)}{k!}(x-a)^k$$ Diremos que estamos trabajando en el barrio $a$ que rodea a $\theta$ . Así, cuando $\theta = 0$ obtenemos un caso especial de la serie de Taylor, llamado serie de McLauren. La expansión de la serie de Taylor (o de McLauren) para $\sin(x)$ y $\cos(x)$ son $$ \sin (\theta)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{d^{k} \sin(\theta)}{d\theta^k} \mid _{\theta=0} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\theta^k}{k!} = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} ...$$ $$ \cos (\theta)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{d^{k} \cos(\theta)}{d\theta^k} \mid _{\theta=0} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\theta^k}{k!} = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} ...$$ Esto no es una sorpresa, ya que sabemos que el seno y el coseno son funciones impares y pares, respectivamente. Ahora hemos tenido en cuenta las porciones trigonométricas de $e^z$ pero aún no han abordado el componente complejo.

Lema 2 : Aplicamos la expansión en serie de Taylor (más concretamente de McLauren) definida anteriormente a la función $e^z$ cuando $z=\jmath x$ y obtenemos $$e^{\jmath x} =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{d^{k} e^{\jmath x}}{d\theta^k} \mid _{\theta=0} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\theta^k}{k!} = 1 + \jmath x - $$

Comparando los términos de la derecha de las expansiones en serie de Taylor de $ \cos (\theta)$ , $\sin (\theta)$ y $e^{\jmath \theta}$ realizado en los lemas 1 y 2, vemos que sumando las expansiones del lema 1, llegamos, por el procedimiento que me da pereza escribir en LaTeX pero que no me da pereza explicar a través de mis buenos amigos Google y krotz , en $e^{\jmath x}=\cos(x) +\jmath \sin(x)$ . [Q.E.D.]

Ahora que hemos demostrado la fórmula de Euler, podemos evaluarla en $x=2\pi$ para adquirir

$$e^{2\pi*\jmath \theta } = {\cos(}2\pi\theta)+j*{\sin}(2\pi\theta)$$

Debido a las características de las funciones sin y cos, es posible utilizar la integración simple para recuperar la amplitud de cada onda sin y cos representada en una transformada de Fourier (similar a la inversa de la prueba anterior). En la inmensa mayoría de los casos, es muy útil seleccionar la fórmula de Euler como función a integrar. Como la fórmula de Euler y la transformada de Fourier son ambas (al menos, en parte) fundamentalmente trigonométricas por naturaleza, el uso de la fórmula de Euler simplifica enormemente la mayoría de las porciones reales de los análisis de Fourier. Además, para el caso complejo, las frecuencias pueden representarse de forma inversa al tiempo utilizando una combinación de la fórmula de Euler y la expansión de la serie de Fourier.

Así pues, es un poco lioso y enrevesado (etimológicamente, no integralmente), pero en realidad se reduce a que la serie de Taylor (o McLauren), la serie y la transformada de Fourier y la fórmula de Euler relacionan una trigonometría Las diferencias entre las tres surgen por la naturaleza de la aplicación. Las series de Taylor se utilizan para representar funciones como sumas infinitas de sus derivadas. Las series y transformaciones de Fourier se utilizan en sistemas lineales y/o ecuaciones diferenciales para convertir señales o DEs del dominio del tiempo al de la frecuencia. La fórmula de Euler se utiliza para relacionar funciones trigonométricas y exponenciales complejas (¿complejidad exponencial?), y es también una fórmula que, cuando se evalúa en $x=\pi$ , se obtiene la identidad de Euler, $e^{\jmath \pi}+1=0$ una ecuación tan austeramente elocuente y estéticamente excitante que me quedaría mirando todo el día.