Discriminante de $\Bbb Q(\sqrt[3]{2})$

Question

Quiero entender una forma de computación el discriminante del campo número $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$. El grado de $K|\mathbb{Q}$ $n=3$ y tenemos $3=1+2\cdot 1$, así que hay una real y dos complejas incrustaciones.

Ahora mi maestra concluye que el valor absoluto del discriminante es igual a $2^2\cdot 3^3$. ¿Por que?

Answer 1

No estoy seguro de que esto es lo que su maestro tenía en mente, pero que permite un cálculo rápido.

Deje $f \in \mathbb{Q}[x]$ monic de grado $n$ ser el polinomio mínimo de a $\alpha$ y deje $K=\mathbb{Q}(\alpha)$.

1. El discriminante de $\mathbb{Z}[\alpha]$$(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}N^K_{\mathbb{Q}}(f'(\alpha))$.
2. El campo de norma $N^K_{\mathbb{Q}}$ es multiplicativo.
3. $N^K_{\mathbb{Q}}(b) = b^n$ $b \in \mathbb{Q}$.
4. $N^K_{\mathbb{Q}}(\alpha)$ $(-1)^n$ veces el término constante de $f$.

Poner juntos para $f = x^3 - 2$ (con $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\alpha]$ aquí, que es no trivial) los rendimientos

El valor absoluto del valor del discriminante de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$$N(3\alpha^2) = N(3)N(\alpha)^2 = 3^3 \cdot 2^2$.

Answer 2

Sobre el fondo necesario, el artículo de La división de campo de la $x^3-2$ por K. Conrad explicar esto en detalle, véase Teorema de $2$ en la página $4$. Tomando el determinante de la matriz $(\sigma_i(x_j))^2_{i,j}$ da el discriminante, donde $\{x_1,x_2,\ldots, x_n\}$ es una parte integral de la base de que el campo de número de $K$$\mathbb{Q}$, y el $\sigma_i$ de las incrustaciones.Aquí $n=3$. Otro método que se explica aquí; y el uso de la traza de la matriz para el discriminante de una cúbicos número de campo ha sido calculada aquí.