Estoy estudiando para un análisis complejo examen de mañana, y estoy tratando de que mi mano en este problema:
Supongamos $f$ es analítica en $\mathbb{D}$$|f(z)|\leq 1$$\mathbb{D}$$f(0) = 1/2$. Demostrar que $|f(1/3)|\geq 1/5$.
Sugerencia: usar la invariante de la forma de Schwarz Lema.
Como yo lo entiendo, la sugerencia se refiere al resultado de que para cualquier holomorphic $f:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$, tenemos $$\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|\leq\left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right|$$ para cualquier $z_1,z_2\in\mathbb{D}$. Tomando $z_1=0$$z_2=\frac{1}{3}$, esto nos lleva $$\frac{|f(\frac{1}{3})-\frac{1}{2}|}{\;\left|1-\overline{f(\frac{1}{3})}\frac{1}{2}\right|\;}\leq\frac{1}{3}$$ pero que lo intentara, no puedo manipular para producir el resultado deseado. Estoy preocupado no estoy entendiendo algo correctamente, y el examen es mañana, así que cualquier ayuda rápida sería muy apreciada.
P. S. he encontrado este ejercicio aquí, donde es problema 5.
Edit: Aha, tengo una idea! Sabemos que para cualquier $a\in \mathbb{D}$, el mapa de $\phi_a:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ definido por $$\phi_a(z)=\dfrac{a-z}{1-\overline{a}z}$$ envía $\phi_a(0)=a$$\phi_a(a)=0$. Observar que $$\phi_{\frac{1}{2}}(\tfrac{1}{3})=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\;\frac{1}{6}\;}{\frac{5}{6}}=\frac{1}{5}.$$ Así que si podemos probar que cualquier otro mapa $f:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ $f(0)=\frac{1}{2}$ se obtiene a partir de a $\phi_a$ en una forma que sólo puede aumentar el $|f(\frac{1}{3})|$, entonces hemos terminado.
Sin embargo, esto parece estar en la dirección opuesta de lo que sería de esperar: una de las consecuencias de Schwarz lema es que cualquier holomorphic mapa de $\mathbb{D}$ $\mathbb{D}$es una contracción en la métrica hiperbólica. Por lo que las distancias deben ser cada vez más pequeño.
